三角関数表のサインの表におけるsin55°を解く

このページでは、sin 55° = 0.819152…を三角関数表を使わずに求める方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の算出方法を説明していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin55°の計算の仕方解説です。

$$\sin 55°=0.819152…$$

sin 55° を10桁表す

まずは、sin 55°を10桁表してみましょう！$$\sin 55° = 0.8191520442 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を活用せずにsin55°の値を求める方法は大きく3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開を使うと下記の式で$\sin x$を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$から$\sin x$の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 55°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.959931…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 55°$を求められます。

$$\sin 55° = 0.819152…$$