この記事では、sin 7° = 0.121869…を電卓で計算する手法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算方法を説明していきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin7°の計算の仕方説明です。
$$\sin 7°=0.121869…$$
sin 7°を10桁確認
早速ですが、sin 7°を10桁調べてみましょう！$$\sin 7° = 0.1218693434 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin7°の値を算出する
三角関数表を確認せずにsin7°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。
2の手法だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でsin7°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 7°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.122173…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 7°\)を求められます。
$$\sin 7° = 0.121869…$$
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