三角関数表のサインの表におけるsin76°の導出

本解説では、sin 76° = 0.970295…を三角関数表を使わずに求める手法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin76°の求め方紹介です。

$$\sin 76°=0.970295…$$

sin 76°を10桁書いてみる

まずは、sin 76°を10桁書いてみましょう！$$\sin 76° = 0.9702957262 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を確認せずにsin76°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開を使うと下記の式で$\sin x$を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$が分かれば$\sin x$の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 76°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.32645…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 76°$を求められます。

$$\sin 76° = 0.970295…$$