三角関数表のサインの表におけるsin84°の求め方

この記事では、sin 84° = 0.994521…を電卓で計算する方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算方法を解説していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、sin84°の求め方紹介です。

$$\sin 84°=0.994521…$$

10位までsin 84°を調べる

早速ですが、sin 84°を10桁表してみましょう！$$\sin 84° = 0.9945218953 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin84°の値を求める

三角関数表を使用せずにsin84°の値を算出する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin84°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 84°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.466076…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 84°\)を求められます。

$$\sin 84° = 0.994521…$$