三角関数表のサインの表におけるsin85°を解く

今回は、sin 85° = 0.996194…を計算する方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算方法を解説していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、sin85°の求め方紹介です。

$$\sin 85°=0.996194…$$

sin 85° を10桁確認

唐突ではありますが、sin 85°を10桁表してみましょう！$$\sin 85° = 0.996194698 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使用せずにsin85°の値を求める手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開から、下記の式で$\sin x$を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$によって、$\sin x$の値を求めることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 85°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.483529…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 85°$を求められます。

$$\sin 85° = 0.996194…$$