【無料】数学の遅れを自宅で取り戻す方法【資料請求】

三角関数表のサインの表におけるsin9°の導出

今回は、sin 9° = 0.156434…を求める手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算の仕方を解説していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin9°の求める方法説明です。

$$\sin 9°=0.156434…$$

当サイトは、工学博士トムソンがトムラボという名前で運営しています。
目次

sin 9° を10桁調べる

早速ですが、sin 9°を10桁表してみましょう!$$\sin 9° = 0.156434465 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin9°の値を計算する

三角関数表を参照せずにsin9°の値を求める手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して9°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin9°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 9°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.157079…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 9°\)を求められます。

$$\sin 9° = 0.156434…$$

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメント

コメントする

目次