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三角関数表のサインの表におけるsin92°の解き方

このページでは、sin 92° = 0.99939…を三角関数表を使わずに求めるやり方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を明らかにしていきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin92°の求める方法紹介です。

$$\sin 92°=0.99939…$$

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sin 92°を10桁表す

唐突ではありますが、sin 92°を10桁表してみましょう!$$\sin 92° = 0.999390827 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin92°の値を算出する

三角関数表を参照せずにsin92°の値を解く手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して92°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin92°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 92°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.605702…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 92°\)を求められます。

$$\sin 92° = 0.99939…$$

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