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三角関数表のサインの表におけるsin93°を簡単導出!

今回は、sin 93° = 0.998629…を電卓で計算する手法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の求め方を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、sin93°の求める方法紹介です。

$$\sin 93°=0.998629…$$

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sin 93° を10桁表す

初めに、sin 93°を10桁表してみましょう!$$\sin 93° = 0.9986295347 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin93°の値を算出する

三角関数表を活用せずにsin93°の値を計算する方法は3つあります。

  1. 分度器用いて93°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin93°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 93°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.623156…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 93°\)を求められます。

$$\sin 93° = 0.998629…$$

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