sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】

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\(\sin\theta\)の微分\((\sin \theta)’=\cos\theta\)

sin(サイン)の微分について解説します。覚えようと思えば一瞬で覚えられる微分ですが、証明しなさいと言われたら難しいのがこのサインです。

しかも、三角関数で習った弧度法が最も生きる場面なので、「なんで弧度法なんて習うの?」って質問に答えるには欠かせない解説です。

もし弧度法ではなく、1周360°で計算すると 、微分の結果はこうなります。

\(\sin\theta\)の微分$$(\sin \theta)’=\frac{\pi}{180}\cos\theta$$

なぜこうなるかは、この説明を読んだあとなら分かるはずです!それでは弧度法大活躍のsin(サイン)の微分をしてみましょう!

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微分の定義に沿っていく

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

これが微分の定義ですが、\(\sin\theta\)を当てはめます。

※\(\Delta\theta\rightarrow 0\)のとき\(\cos\Delta\theta=1\)を使います。

$$\begin{eqnarray}
(\sin \theta)’ &=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin(\theta + \Delta \theta) – \sin\theta }{ \Delta \theta}\\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta\cos\Delta \theta+\cos\theta\sin \Delta\theta – \sin\theta }{ \Delta \theta}\\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta+\cos\theta\sin \Delta\theta – \sin\theta }{ \Delta \theta} \\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}\cos\theta \\
\end{eqnarray}$$

ここで$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}$$を考えます。

トムくん
トムくん

\(\frac{0}{0}\)になりそうだけどなあ

くりまろ
くりまろ

実はそうじゃないから説明するね!

$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}$$

ここで、ある三角形と扇形について考えてみます。

△OABと扇形OABと△OACの面積を比べると図にもあるように、

$$\frac{1}{2}r^2\sin\theta<\frac{1}{2}r^2\theta<\frac{1}{2}r^2\tan\theta$$

です。つまり

$$\sin\theta<\theta<\tan\theta$$

とも言えます。さらに\(\sin\theta\)で割って、

$$1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}$$

そして、逆数を取ります。

$$\cos\theta<\frac{\sin\theta}{\theta}<1$$

ここで\(\theta\rightarrow 0\)のとき\(\cos\theta=1\)を使うと・・・

$$1<\lim_{ \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta }{ \theta}<1$$

ですよね!と言うことは・・・

$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=1$$

です。

sinの微分をする

先述の計算を再掲しますね。

$$\begin{eqnarray}
(\sin \theta)’ &=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin(\theta + \Delta \theta) – \sin\theta }{ \Delta \theta}\\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta\cos\Delta \theta+\cos\theta\sin \Delta\theta – \sin\theta }{ \Delta \theta}\\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta+\cos\theta\sin \Delta\theta – \sin\theta }{ \Delta \theta} \\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}\cos\theta \\
\end{eqnarray}$$

ここで

$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=1$$

ってことも分かったので、

$$(\sin \theta)’=\cos\theta$$

の証明ができました!

何で弧度法だと良いのか?

最初に弧度法について少し触れましたが、これが360°法だと扇形OABの面積が変わります。

$$扇形OAB=\pi r^2\frac{\theta}{360}$$

となるわけです。このまま計算すると

$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=\frac{\pi}{180}$$

になっちゃうので結果としてこうなっちゃいます。

$$(\sin \theta)’=\frac{\pi}{180}\cos\theta$$

さいごに

sin(サイン)の微分を解説しました。

sinの微分の方法が分かった上に、弧度法の重要性まで分かって一石二鳥感がある計算でしたね!

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