[数3]sin xの微分を証明、はさみうちの定理を使った方法

sin（サイン）の微分について解説します。覚えようと思えば一瞬で覚えられる微分ですが、証明しなさいと言われたら難しいのがこのサインです。

しかも、三角関数で習った弧度法が最も生きる場面なので、「なんで弧度法なんて習うの？」って質問に答えるには欠かせない解説です。

もし弧度法ではなく、１周360°で計算すると 、微分の結果はこうなります。

なぜこうなるかは、この説明を読んだあとなら分かるはずです！それでは弧度法大活躍のsin（サイン）の微分をしてみましょう！

sin xの微分

これが微分の定義ですが、\(\sin\theta\)を当てはめます。

※\(\Delta\theta\rightarrow 0\)のとき\(\cos\Delta\theta=1\)を使います。

$$\begin{eqnarray}
(\sin \theta)’ &=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin(\theta + \Delta \theta) – \sin\theta }{ \Delta \theta}\\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta\cos\Delta \theta+\cos\theta\sin \Delta\theta – \sin\theta }{ \Delta \theta}\\
&=& \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta(\cos\Delta \theta-1)+\cos\theta\sin \Delta\theta }{ \Delta \theta} \\
&\ &ここで、 \lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \cos\Delta \theta-1}{ \Delta \theta} =0\\
&\ &かつ、\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=1より\\
(\sin \theta)’&=& \cos\theta \\
\end{eqnarray}$$

ここで$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=1$$を考えます。

直感的には\(0\)になりそうですが、実は1になります。その説明をしていきますね。

sinの微分について

$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=1$$について考えてみます。

ここで、ある三角形と扇形について考えてみます。

△OABと扇形OABと△OACの面積を比べると図にもあるように、下記の関係になります。

$$\frac{1}{2}r^2\sin\theta<\frac{1}{2}r^2\theta<\frac{1}{2}r^2\tan\theta$$

$\displaystyle \frac{1}{2}r^2$は共通なので、割ると下記の式になります。

$$\sin\theta<\theta<\tan\theta$$

さらに\(\sin\theta\)で割ります。

$$1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}$$

そして、逆数を取ります。

$$\cos\theta<\frac{\sin\theta}{\theta}<1$$

ここで\(\theta\rightarrow 0\)のとき\(\cos\theta=1\)を使います。

$$1<\lim_{ \theta \to 0 } \frac{ \sin\theta }{ \theta}<1$$

$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=1$$

以上のように、θが0に近づくと1になります。

弧度法が便利な理由

今回は弧度法を使って計算しました。もし360°法で計算すると、扇形OABの面積が変わります。

$$扇形OAB=\pi r^2\frac{\theta}{360}$$

上記の扇形の面積で計算すると、当然ですが結果が変わります。

$$\lim_{ \Delta \theta \to 0 } \frac{ \sin \Delta\theta }{ \Delta \theta}=\frac{\pi}{180}$$

つまり、サインの微分に余計な定数がついてしまうのです。

$$(\sin \theta)’=\frac{\pi}{180}\cos\theta$$

さいごに｜サインの微分

sin（サイン）の微分を解説しました。

sinの微分の方法が分かった上に、弧度法の重要性まで分かって一石二鳥感がある計算でしたね！

弧度法の解説記事も書きましたので興味がありましたら一読くださいませ！

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