【積分】三角関数と逆三角関数の積分公式一覧|途中式の解説あり!

三角関数逆三角関数の積分公式の一覧になります。
計算式(途中式)を知りたい場合は、公式の横にある「積分の計算」を押してもらえると、解説ページに飛べるようになっています。

キレイにまとめましたので、ブックマークしてご活用ください!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略しています。

三角関数の微分についてはこちらの記事をご参照ください!
>>三角関数の微分<<

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基礎的な三角関数の積分3つ

\(\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x\)(微分より導出

\(\displaystyle\int\cos xdx=\sin x\)(微分より導出

\(\displaystyle\int\tan xdx=-\log|\cos x|\)(積分の計算)

重要な積分2つ|三角関数の逆数の2乗

\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\displaystyle \frac{1}{\tan x}\)(積分の計算

\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x\)(積分の計算

\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\tan^2 x}dx = \log|\sin x|\)(積分の計算

三角関数の2乗の積分3つ

\(\displaystyle\int \sin^2 xdx=\displaystyle \frac{1}{2}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x\)(積分の計算

\(\displaystyle\int \cos^2 xdx=\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x\)(積分の計算

\(\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x\)(積分の計算

三角関数の逆数の積分3つ

\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\sin x}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|\)(積分の計算

\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\cos x}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\)(積分の計算

\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x}dx=\log |\sin x|\)(積分の計算

逆三角関数の積分3つ

>>逆三角関数とは<<

\(\displaystyle\int \sin^{-1}xdx=x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}\)(積分の計算

\(\displaystyle\int \cos^{-1}xdx=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}\)(積分の計算

\(\displaystyle\int \tan^{-1}xdx=x\tan^{-1}x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(1+x^2)\)(積分の計算

\(\tan \displaystyle \frac{x}{2}=t\) の置換積分

>>\(\tan \displaystyle \frac{x}{2}=t\)とおく理由<<

三角関数と他の関数の積4つ

\(\displaystyle\int x \sin xdx=-x\cos x+\sin x\)(積分の計算

\(\displaystyle\int x \cos xdx=x\sin x+\cos x\)(積分の計算

\(\displaystyle\int e^{ax} \sin {bx} dx=\displaystyle \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)\)(積分の計算)

\(\displaystyle\int e^{ax} \cos {bx} dx=\displaystyle \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)\)(積分の計算)

三角関数の3乗の積分3つ

\(\displaystyle\int \sin^3 xdx=\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3 x-\cos x\)(積分の計算)

\(\displaystyle\int \cos^3 xdx=-\displaystyle \frac{1}{3}\sin^3 x+\sin x\)(積分の計算)

\(\displaystyle\int \tan^3 xdx=\log|\cos x|+\displaystyle \frac{1}{2\cos^2 x}\)(積分の計算)

三角関数の4乗の積分2つ

\(\displaystyle\int \sin^4 xdx=\displaystyle \frac{3}{8}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle \frac{1}{32}\sin 4x\)(積分の計算)

\(\displaystyle\int \cos^4 xdx=\displaystyle \frac{3}{8}x+\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle \frac{1}{32}\sin 4x\)(積分の計算)

今回は以上です!

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