キレイにまとめましたので、ブックマークしてご活用ください！
三角関数の微分についてはこちらの記事をご参照ください！
>>三角関数の微分<<
※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略しています。
三角関数の積分(1) 基礎的3つ
まずは基礎的な三角関数の積分3つです。
sin x と cos xの積分
sin xとcos xの積分は微分から導出できます。下記の通りsin xを微分していくと、4回の微分でsin xに戻ってきます。
\begin{eqnarray}
(\sin x)’ &= \cos x\\
(\cos x)’ &= -\sin x\\
(-\sin x)’ &= -\cos x\\
(-\cos x)’ &= \sin x\\
\end{eqnarray}
微分は積分の逆であることを利用すると、積分の答えが得られます。
\(\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x\)
\(\displaystyle\int\cos xdx=\sin x\)
tan xの積分
\(\displaystyle\int\tan xdx=-\log|\cos x|\)
tan xの積分は\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)の公式を使って分数関数の積分を使って求めることができます。
※参考記事
三角関数の逆数の２乗の積分
次は三角関数の逆数の2乗です。
色々な場面で使う意外と重要な積分公式ですね。こちらも3つ紹介します。
1/sin^2 xの積分
$\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}$は$\tan x=t$と置くことで積分することができます。
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\displaystyle \frac{1}{\tan x}\)
1/cos^2 xの積分
$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$は$\tan x=t$と置くことで積分することができます。
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x\)（積分の計算）
1/tan^2 xの積分
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\tan^2 x}dx = \log|\sin x|\)（積分の計算）
三角関数の２乗の積分３つ
\(\displaystyle\int \sin^2 xdx=\displaystyle \frac{1}{2}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \cos^2 xdx=\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x\)（積分の計算）
\ おすすめの参考書！ /
三角関数の逆数の積分３つ
\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\sin x}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\cos x}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x}dx=\log |\sin x|\)（積分の計算）
逆三角関数の積分３つ
>>逆三角関数とは<<
\(\displaystyle\int \sin^{-1}xdx=x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \cos^{-1}xdx=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \tan^{-1}xdx=x\tan^{-1}x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(1+x^2)\)（積分の計算）
\(\tan \displaystyle \frac{x}{2}=t\) の置換積分
>>\(\tan \displaystyle \frac{x}{2}=t\)とおく理由<<
\ おすすめの参考書！ /
三角関数と他の関数の積４つ
\(\displaystyle\int x \sin xdx=-x\cos x+\sin x\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int x \cos xdx=x\sin x+\cos x\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int e^{ax} \sin {bx} dx=\displaystyle \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int e^{ax} \cos {bx} dx=\displaystyle \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)\)（積分の計算）
三角関数の３乗の積分３つ
\(\displaystyle\int \sin^3 xdx=\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3 x-\cos x\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \cos^3 xdx=-\displaystyle \frac{1}{3}\sin^3 x+\sin x\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \tan^3 xdx=\log|\cos x|+\displaystyle \frac{1}{2\cos^2 x}\)（積分の計算）
三角関数の４乗の積分２つ
\(\displaystyle\int \sin^4 xdx=\displaystyle \frac{3}{8}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle \frac{1}{32}\sin 4x\)（積分の計算）
\(\displaystyle\int \cos^4 xdx=\displaystyle \frac{3}{8}x+\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle \frac{1}{32}\sin 4x\)（積分の計算）
\ おすすめの参考書！ /
逆三角関数の関連記事
最後に関連記事を紹介して終わりたいと思います。