今回は\(\cot^2 x=\displaystyle \frac{1}{\tan^2 x}\)を積分していきます！
具体的には下記の式を計算していきます。
$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\tan^2 x}dx = \log|\sin x|+C$$
（Cは積分定数）
では、実際に計算していきましょう！
※読みやすさの関係上、これより積分定数の\(C\)は省略して解説します。
\(\cot^2 x\)を積分する
早速計算していきます。
積分の計算の後に、積分に使うテクニックや公式の解説をしていきますね。
三角関数の相互関係より、\(\cot x=\displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\)である。
また積分の公式より、（証明は後述）
$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|$$
が成り立つ。
ここで、\(f(x)=\sin x\)とすると、\(f'(x)=\cos x\)となるため、
$$\displaystyle\int \cot x dx=\displaystyle \frac{(\sin x)’}{\sin x}=\log|\sin x|$$
以上で積分は完了です。
最後に今回の積分に使った計算の解説を２つ紹介します。
積分に使った公式２つ
\((\sin x)’=\cos x\)
この公式は\(\sin x\)を微分したら\(\cos x\)になる単純な計算です。
しかし、証明しようとすると実は結構大変です。
証明まで知りたい方は下記の解説記事を参考にしてください。
図を使ってかなりわかりやすく解説していますよ！
>>\(\sin x\)の微分を証明<<
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|\)
では公式を証明していきます。
\(f(x)=t\)とおくと、\(f’(x)dx=dt\)となる。
そのため、下記のように積分できる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx &=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{dt}{t}\\ \\
&=&\log |t|\\
&=& \log|f(x)| \end{eqnarray}
ちなみに、\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{dt}{t}=\log |t|\)の証明もしています。
正確には\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)ですが、よかったら参考にしてくださいね！
>>\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)の証明<<
普通のタンジェントの微分は下記になります。
今回は以上です！
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