\(\cos x\)の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$
\(\sin x\)の微分は\(\cos x\)になります。しかし、\(\cos x\)を微分するとなぜか\(-\sin x\)になってしまいます。
この記事では、その理由を\(\cos x\)を定義の式で微分することで、明らかにします。
\(\sin x\)の微分$$(\sin x)’=\cos x$$
詳しい解説≫sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】≪
\(\cos x\)を定義通り微分する
微分の定義の式は
\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}
です。なので、
$$f(x)=\cos x$$
とすると、定義の式はこうなります。
$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x) – \cos x }{ \Delta x }\\
\end{eqnarray}$$
あとはチャカチャカ計算します。計算には加法定理を使いますよ!
詳しい解説≫加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!≪
加法定理を利用して計算
$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x )- \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }
\end{eqnarray}$$
ここで\(\Delta x\rightarrow 0\)のとき\(\cos\Delta x\rightarrow 1\)なので、
$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x・1-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{-\sin x\sin\Delta x }{ \Delta x }\\
&=& -\sin x
\end{eqnarray}$$
となります。ただし、
詳しい解説≫sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】≪
を利用しています!
さいごに
サインの微分で使った式以外は簡単だったのではないでしょうか。
$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$
この式が分からない方は、今のうちに復習しておくことをおススメします!
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