cos(コサイン)を微分する!マイナスが付く理由【定義で計算】

\(\cos x\)の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$

\(\sin x\)の微分は\(\cos x\)になります。しかし、\(\cos x\)を微分するとなぜか\(-\sin x\)になってしまいます。

この記事では、その理由を\(\cos x\)を定義の式で微分することで、明らかにします。

\(\cos x\)の微分をする際には加法定理を利用して計算する場面があります。

加法定理(\(\cos(α+β)\))$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$

 

詳しい解説加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!

式を忘れていても、上記の式が分かれば問題なく読めるので安心してください!

\(\cos x\)を定義通りに微分する

まずは定義の式に当てはめて、展開し、加法定理を使う流れで計算していきます。

微分の定義の式は

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

です。なので、

$$f(x)=\cos x$$

とすると、定義の式はこうなります。

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x) – \cos x }{ \Delta x }\\
\end{eqnarray}$$

あとはチャカチャカ計算します。計算には加法定理を使いますよ!

加法定理(\(\cos(α+β)\))$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$

 

詳しい解説加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!

加法定理を利用して計算

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x )- \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }
\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \left( \cos x\frac{\cos \Delta x – 1}{ \Delta x }-\sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{-\sin x\sin\Delta x }{ \Delta x }\\
&=& -\sin x
\end{eqnarray}$$

となります。ただし、

\(\sin x\)の微分より$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$

 

詳しい解説sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】

を利用しています!

さいごに|\(\cos x\)の微分

加法定理が分かれば、残りは簡単だったのではないでしょうか。

計算するときはスッと使いましたが、以下の式は重要です。

$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$

この式が分からない方は、今のうちに復習しておくことをおススメします!

詳しい解説sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】

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