cos（コサイン）を微分する！マイナスが付く理由【定義で計算】

$\cos x$の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$

$\sin x$の微分は$\cos x$になります。しかし、$\cos x$を微分するとなぜか$-\sin x$になってしまいます。

この記事では、その理由を$\cos x$を定義の式で微分することで、明らかにします。

$\cos x$の微分をする際には加法定理を利用して計算する場面があります。

加法定理（$\cos(α+β)$)$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$

詳しい解説≫加法定理の証明と覚え方を詳しく解説！≪

式を忘れていても、上記の式が分かれば問題なく読めるので安心してください！

cos xの微分

まずは定義の式に当てはめて、展開し、加法定理を使う流れで計算していきます。

微分の定義の式は

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

です。なので、

$$f(x)=\cos x$$

とすると、定義の式はこうなります。

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x) – \cos x }{ \Delta x }\\
\end{eqnarray}$$

あとはチャカチャカ計算します。計算には加法定理を使いますよ！

加法定理を利用して計算

加法定理（$\cos(α+β)$)$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$

詳しい解説≫加法定理の証明と覚え方を詳しく解説！≪

加法定理を利用すると定義の式は下記のように計算でき、$\cos x$を微分することができます。

\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x )- \cos x }{ \Delta x }\\\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \left( \cos x\frac{\cos \Delta x – 1}{ \Delta x }-\sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)\\\\
ここで、 &&\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\cos \Delta x – 1}{ \Delta x }\to 0\\\\
&&\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\sin \Delta x }{ \Delta x }\to 1なので\\\\
&=&\cos x\cdot 0-\sin x\cdot 1\\\\
&=& -\sin x\\
\end{eqnarray}

となります。

$\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\sin \Delta x }{ \Delta x }\to 1$については下記で詳細な解説をしています。

$\sin x$の微分より$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$

詳しい解説≫sin（サイン）を微分する！【図で分かる解説】≪