cos(コサイン)を微分する!マイナスが付く理由【定義で計算】

\(\cos x\)の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$

\(\sin x\)の微分は\(\cos x\)になります。しかし、\(\cos x\)を微分するとなぜか\(-\sin x\)になってしまいます。

この記事では、その理由を\(\cos x\)を定義の式で微分することで、明らかにします。

\(\cos x\)の微分をする際には加法定理を利用して計算する場面があります。

加法定理(\(\cos(α+β)\))$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$

 

詳しい解説加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!

式を忘れていても、上記の式が分かれば問題なく読めるので安心してください!

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cos xの微分

まずは定義の式に当てはめて、展開し、加法定理を使う流れで計算していきます。

微分の定義の式は

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

です。なので、

$$f(x)=\cos x$$

とすると、定義の式はこうなります。

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x) – \cos x }{ \Delta x }\\
\end{eqnarray}$$

あとはチャカチャカ計算します。計算には加法定理を使いますよ!

加法定理を利用して計算

加法定理(\(\cos(α+β)\))$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$

 

詳しい解説加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!

加法定理を利用すると定義の式は下記のように計算でき、\(\cos x\)を微分することができます。


\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x )- \cos x }{ \Delta x }\\\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \left( \cos x\frac{\cos \Delta x – 1}{ \Delta x }-\sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)\\\\
ここで、 &&\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\cos \Delta x – 1}{ \Delta x }\to 0\\\\
&&\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\sin \Delta x }{ \Delta x }\to 1なので\\\\
&=&\cos x\cdot 0-\sin x\cdot 1\\\\
&=& -\sin x\\
\end{eqnarray}

となります。

\(\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\sin \Delta x }{ \Delta x }\to 1\)については下記で詳細な解説をしています。

\(\sin x\)の微分より$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$

 

詳しい解説sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】

まとめ|\(\cos x\)の微分

加法定理が分かれば、そこまで難しくない計算です。
しかし、以下の式は超重要です。

$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$

サインの微分で登場する式なので、ついでに理解しておくといいでしょう。

詳しい解説sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

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