cos（コサイン）を微分する！マイナスが付く理由【定義で計算】

$\cos x$の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$

$\sin x$の微分は$\cos x$になります。しかし、$\cos x$を微分するとなぜか$-\sin x$になってしまいます。

この記事では、その理由を$\cos x$を定義の式で微分することで、明らかにします。

$\sin x$の微分$$(\sin x)’=\cos x$$

$\cos x$を定義通り微分する
加法定理を利用して計算
さいごに

$\cos x$を定義通り微分する

微分の定義の式は

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

です。なので、

$$f(x)=\cos x$$

とすると、定義の式はこうなります。

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x) – \cos x }{ \Delta x }\\
\end{eqnarray}$$

あとはチャカチャカ計算します。計算には加法定理を使いますよ！

加法定理（$\cos(α+β)$)$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$$

詳しい解説≫加法定理の証明と覚え方を詳しく解説！≪

加法定理を利用して計算

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x )- \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }
\end{eqnarray}$$

ここで$\Delta x\rightarrow 0$のとき$\cos\Delta x\rightarrow 1$なので、

$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x・1-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{-\sin x\sin\Delta x }{ \Delta x }\\
&=& -\sin x
\end{eqnarray}$$

となります。ただし、

$\sin x$の微分より$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$

詳しい解説≫sin（サイン）を微分する！【図で分かる解説】≪

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