【双曲線関数】微分・積分|sinh・cosh・tanhを解説

今回は双曲線関数の微分と積分を解説します。
具体的には下記の微分3つと積分3つの証明になります。

双曲線関数の微分
  • \((\sinh x)’=\cosh x\)
  • \((\cosh x)’=\sinh x\)
  • \((\tanh x)’=\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x}\)
双曲線関数の不定積分
  • \(\displaystyle\int \sinh x=\cosh x+C\)
  • \(\displaystyle\int \cosh x=\sinh x+C\)
  • \(\displaystyle\int \tanh x=\log |\cosh x|+C\)
  • \(C\)は積分定数

記事の前半では双曲線関数(sinh, cosh, tanh)とは何かを解説して、後半で双曲線関数の微分と積分を解説していきます!

トムソン
トムソン

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双曲線関数とは|式とグラフ

双曲線関数とは下記の式で表される関数です。

\begin{eqnarray}
\sinh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2} \\\\
\cosh x &=& \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2} \\\\
\tanh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\\\
\end{eqnarray}

双曲線関数の読み方は下記の通りです。

\(\sinh x\rightarrow\)ハイパボリックサイン
\(\cosh x\rightarrow\)ハイパボリックコサイン
\(\tanh x\rightarrow\)ハイパボリックタンジェント


では、双曲線関数のグラフを確認していきましょう。

グラフ|\(\sinh x\)

図1が\(\sinh x\)のグラフです。

グラフ|\(\cosh x\)

図2が\(\cosh x\)のグラフです。

グラフ|\(\tanh x\)

図3が\(\tanh x\)のグラフです。


双曲線関数の解説は以上になります。
ここからは双曲線関数の微分と積分を見ていきましょう!

双曲線関数の微分

では1つずつ微分を見ていきましょう!

微分1|\(\sinh x\)

\((\sinh x)’=\cosh x\)を計算していきます。


\((e^x)’=e^x,\ (e^{-x})’=-e^{-x}\)を使うと、下記の通り\(x\)について微分できる。

\begin{eqnarray}
(\sinh x)’ &=& \left( \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})’\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\\\\
&=&\cosh x \end{eqnarray}


より詳しい解説は下記の記事を参考にしてください!

>>\(\sinh x\)の微分<<

微分2|\(\cosh x\)

\((\cosh x)’=\sinh x\)を計算していきます。


\((e^x)’=e^x,\ (e^{-x})’=-e^{-x}\)を使うと、下記の通り\(x\)について微分できる。

\begin{eqnarray}
(\cosh x)’ &=& \left( \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})’\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\\\\
&=&\sinh x \end{eqnarray}


より詳しい解説は下記の記事を参考にしてください!

>>\(\cosh x\)の微分<<

微分3|\(\tanh x\)

\((\tanh x)’=\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x}\)を計算していきます。


\(\tanh x=\displaystyle \frac{\sinh}{\cosh}\)と、

商の微分公式\(\left( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\displaystyle \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)を利用すると、

下記の通り\(x\)について微分できる。

\begin{eqnarray}
(\tanh x)’ &=& \left( \displaystyle \frac{\sinh x}{\cosh x}\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{(\sinh x)’\cosh x-\sinh x(\cosh x)’}{\cosh^2 x}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2 x}\cdots(1)\\\\
\end{eqnarray}

ここで、

\begin{eqnarray}
\cosh^2 x &=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}+2e^x e{-x}+e^{-2x})\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x}) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sinh^2 x &=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-2e^x e{-x}+e^{-2x})\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x}) \end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\cosh^2 x-\sinh^2 x &=& \displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x})-\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x}) \\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-e^{2x}+2+2+e^{-2x}-e^{-2x})\\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\cdot4\\\\
&=&1 \end{eqnarray}

となる。
(1)に\(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\)を代入すると、下記のように微分できる。

\((\tanh x)’ =\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x}\)


より詳しい解説は下記の記事を参考にしてください!

>>\(\tanh x\)の微分<<

双曲線関数の積分

では積分を見ていきましょう。
まずは\(\sinh x\)の積分です。

積分1|\(\sinh x\)の積分

この章では\(\displaystyle\int\sinh x=\cosh x +C\)を証明します。

証明には、

(1)右辺を微分する方法と、

(2)\(\sinh x=\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}\)を積分する方法

の2種類を解説します!


(1) 右辺を微分する

\begin{eqnarray}
(\cosh x+C)’ &=& \left( \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}+C\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}+C)’\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\\\\
&=&\sinh x \end{eqnarray}

以上より、

\(\displaystyle\int\sinh x=\cosh x +C\)となる。

(2) \(\sinh x=\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}\)を積分する

積分の公式より、

  1. \(\displaystyle\int kf(x) dx=k \displaystyle\int f(x)dx\)
  2. \(\displaystyle\int \{f(x)+g(x)\}dx=\displaystyle\int f(x) dx +\displaystyle\int g(x) dx\)

が成り立つため、下記のように積分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\sinh x dx&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}dx\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int(e^x-e^{-x})dx \\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}\left( \displaystyle\int e^xdx-\displaystyle\int e^{-x}dx\right)\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^x+C_1-(-e^{-x}+C_2)\right)\\\\
&=&\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}+C\\\\
&=&\cosh x +C\end{eqnarray}

(\(C_1,\ C_2,\ C\)は積分定数であり、\(C=\displaystyle \frac{1}{2}(C_1-C_2)\)である。)


以上が\(\sinh x\)の積分の証明です。
では、\(\cosh x\)の積分を見ていきましょう!

積分2|\(\cosh x\)の積分

この章では\(\displaystyle\int\cosh x=\sinh x +C\)を証明します。

証明には、

(1)右辺を微分する方法と、

(2)\(\cosh x=\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}\)を積分する方法

の2種類を解説します!


(1) 右辺を微分する

\begin{eqnarray}
(\sinh x+C)’ &=& \left( \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}+C\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}+C)’\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\\\\
&=&\cosh x \end{eqnarray}

以上より、

\(\displaystyle\int\sinh x=\sinh x +C\)となる。

(2) \(\sinh x=\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}\)を積分する

積分の公式より、

  1. \(\displaystyle\int kf(x) dx=k \displaystyle\int f(x)dx\)
  2. \(\displaystyle\int \{f(x)+g(x)\}dx=\displaystyle\int f(x) dx +\displaystyle\int g(x) dx\)

が成り立つため、下記のように積分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\cosh x dx&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}dx\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int(e^x+e^{-x})dx \\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}\left( \displaystyle\int e^xdx+\displaystyle\int e^{-x}dx\right)\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^x+C_1+(-e^{-x}+C_2)\right)\\\\
&=&\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}+C\\\\
&=&\sinh x +C\end{eqnarray}

(\(C_1,\ C_2,\ C\)は積分定数であり、\(C=\displaystyle \frac{1}{2}(C_1-C_2)\)である。)


以上が\(\cosh x\)の積分の証明です。
最後に、\(\tanh x\)の積分を見ていきましょう!

積分3|\(\tanh x\)の積分

この章では\(\displaystyle\int\tanh x=\log |\cosh x| +C\)を証明します。

証明には、

(1)右辺を微分する方法と、

(2)\(\tanh x=\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)を積分する方法

の2種類を解説します!


(1) 右辺を微分する

\((\log |f(x)|)’=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\)より、

\begin{eqnarray}
(\log |\cosh x| +C)’ &=& \displaystyle \frac{1}{\cosh x}\cdot(\cosh x)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\cosh x}\cdot\sinh x\\\\
&=& \displaystyle \frac{2}{e^x+e{-x}}\cdot\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e{-x}} \\\\
&=&\tanh x\end{eqnarray}

以上より、

\(\displaystyle\int\tanh x=\log|\cosh x| +C\)となる。

(2) \(\tanh x=\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)を積分する

\(f(x)=e^x+e^{-x}\)とすると、
\(f'(x)=(e^x+e^{-x})’=e^x-e^{-x}\)と下記の積分公式(1)より、\(\tanh x\)を積分できる。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|+C\cdots(1)$$

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\tanh x dx&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx\\\\
&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx \\ \\
&=& \log|f(x)|+C\\\\
&=&\log |e^x+e^{-x}|+C\\\\
&=&\log|\cosh x|+C \end{eqnarray}

(\(C\)は積分定数である。)


\(\tanh x\)の積分の証明は以上です。

以上、双曲線関数とは、グラフ、微分・積分を確認してきました。
詳細記事も用意していますので、疑問点があれば確認してくださいね!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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