今回は\(\tan{4x}\)を微分していきます。
$$(\tan 4x)’=\displaystyle \frac{4}{\cos^2 4x}$$
具体的には上記の式の証明です。
tan4xの微分
\(\tan 4x\)の微分には合成関数の微分を使います。
記事の最後に参考リンクを貼っているので、よかったらご活用ください。
それでは微分していきます。
\(y=\tan 4x\)を微分するとき、
\(4x=u\)とおくと、\(y=\tan u\)となる。
また、
\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(\tan u)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 u}\)であり、
\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x)’=4\)である。
以上の計算と合成関数の微分法より、下記の通り微分できる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}
&=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx} \\ \\
&=&\displaystyle \frac{1}{\cos^2 u}\cdot 4\\
&=&\displaystyle \frac{4}{\cos^2 4x} \end{eqnarray}
微分は以上です。
ここからは微分する際に使った、下記２つの計算について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)
解説1｜\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)
\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)の証明については下記の記事で紹介しているので、気になった方はご参照ください。
\(\tan x\)の微分は非常に重要なので、知っておいて損はありません。
微分する方法を2種類紹介しているので、参考になりますよ！
>>\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)の解説<<
解説２｜合成関数の微分法
合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。
合成関数の微分法は、\(f'(g(x))\)を微分する方法です。
\(g(x)=u\)とおいて、微分を下記の式のように変形します。
$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$
言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。
合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。
【例題】
\(y=(4x^2+5x-3)^6\)を微分せよ
【解答】
\(4x^2+5x-3=u\)とすると、\(y=u^6\)とおくことができる。
ここで、\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5\)である。
また、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5\)である。
以上より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}
と計算できる。
今回のテーマである\(\tan 4x\)の微分だと、\(u=4x\)とおいて計算しています。
１度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。
\(\tan 4x\)の微分は以上です！