今回はx log(x)を微分していきます。
具体的には、下記の微分を関数の積の導関数を使って証明していきます。
$$(x\log x)’=\log x+1$$
最初に微分の計算を証明して、後半で微分に使用した公式などの解説をしていきます！
xlogxの微分
では早速微分していきましょう！
関数の積の微分法より、\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)である。
ここで、\(f(x)=x,\ g(x)=\log x\)とする。
\((x)’=1,\ (\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)であるため、下記の通り微分できる。
\begin{eqnarray}
(x\log x)’ &=& (x)’\log x+x(\log x)’ \\
&=& 1\cdot \log x+x\cdot \displaystyle \frac{1}{x}\\
&=&\log x+1 \end{eqnarray}
微分の計算は以上です！
ここからは微分する際に使用した、下記２つの微分法や公式について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)
解説１｜積の導関数
関数の積の導関数は下記の式で表されます。
$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\cdots(1)$$
$$(f_1 f_2 f_3)’=f’_1 f_2 f_3+f_1f’_2 f_3+ f_1f_2f’_3\cdots(2)$$
(1)式は２つの関数の積、(2)の式は３つの関数の積の場合です。
詳しい解説や証明は下記の記事を参考にしてください。
>>関数の積の導関数<<
解説２｜\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)
\(\log x\)の微分は逆関数の微分法を使って下記のように微分します。
\begin{eqnarray}
y = \log x &\Leftrightarrow& x=e^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& e^y\\
&=&x\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\end{eqnarray}
逆関数の微分法については下記の記事で詳細に解説しています。
>>逆関数の微分法<<
また\(\log x\)の微分は下記で詳細な解説をしていますので、よかったら参考にされてください！
>>\(\log x\)の微分<<
\(x\log x\)の微分は以上です！
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