【三角関数】基礎のsin・cos・tanをわかりやすく図で解説|中学生にもわかる!

数学や物理で大活躍の三角関数。サインコサインタンジェント。

今回はその三角関数の基礎である、サインコサインタンジェントって何?についてわかりやすく解説します。

sin(サイン)・cos(コサイン)・tan(タンジェント)がなるべく簡単に分かるように解説しています!具体的には\(\sin\)(サイン)、\(\cos\)(コサイン)、\(\tan\)(タンジェント)とは何か、とその覚え方を紹介します。

この記事で分かること!

  1. \(\sin\)とは何か
  2. \(\cos\)とは何か
  3. \(\tan\)とは何か
  4. 三角関数の覚え方
  5. 実際の使われ方(1例)
トムソン
トムソン

三角関数は基礎をしっかり理解していれば、応用にも入りやすくなりますよ!それに物理や他の科目でも使うから受験生はしっかり読んでおきましょう。

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三角関数の基礎

「サインコサインタンジェント」

意味は知らないけれど、ゴロがいいので聞いたことある方も多いのではないでしょうか。

これはそれぞれ直角三角形の辺の長さの比を表しています。

また、表記の仕方はこのようになります。

  • \(\sin\)(サイン)
  • \(\cos\)(コサイン)
  • \(\tan\)(タンジェント)

では、これは一体何なのか。今回はわかりやすく、かつ丁寧に解説しますね!

sin(サイン)とは

普通\(\sin\)単体で使うことはなく、\(\sin\)(角度)として使います。分かりにくいので、図を見てみましょう。

このような直角三角形(直角を1つ持つ三角形)に使うことができ、この図でθは角度の大きさを表しています。ではこの図の\(\sin\)とはどうなるのか。

さっきの\(\sin\)(角度)=\(\sin θ\)となります。じゃあ\(\sin θ\)は何なのかと言いますと

$$\sin θ = \frac{y}{r}$$

となります。rとyの長さの比を表してるんですね。

トムソン
トムソン

何言ってるかよく分からないよ・・・

という方も安心してください!分かるようになります。

ここでは深く考えずに「そういうもの!」と割り切るのが簡単に理解するコツです。

ひとまず、そういうものだと思っておいてください!

絶対理解できるようになります!

cos(コサイン)とは

次にcos(コサイン)です。

cosはこのようになります。

sinの時と同様に、そう言うものと覚えましょう。$$\cos θ = \frac{x}{r}$$です。

tan(タンジェント)とは

最後にタンジェントはこうなります。

$$\tan θ = \frac{y}{x}$$となります。

sin・cos・tanの超簡単な覚え方

ではここでsin・cos・tanの超簡単な覚え方を紹介しますね。

まずは下の図のように、sの筆記体、cの筆記体、tの筆記体をイメージします。

これを直角三角形に当てはめてみます。

するとsinなら\(\displaystyle \frac{y}{r}\)、cosなら\(\displaystyle \frac{x}{r}\)、tanなら\(\displaystyle \frac{y}{x}\)の辺を辿ってますよね。

分からなくなったらこの筆記体を当てはめると、いいでしょう。

簡単に覚えられて、テスト中でも思い出すことができますよ!

三角関数の使用例

最後に1つ三角関数が現実で使われている例を紹介します。

三角関数のすごいところは、全て値が分かっているところです。

例えば\(\sin 30°\)は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)だし、\(\cos 74°=0.2756・・・・\)

といった具合に、どんな中途半端な値でも数値として出すことが可能です。

これを表にしたものが、教科書の最後のページ辺りに載ってるのではないでしょか。

これを現実で使ってみましょう。

測れない長さを三角比で測る

例えばものすごく高い木があって、高さを知りたいとします。こんな感じです。

今の位置から木までの距離は測れますよね。θも道具を使えば簡単に測ることができますね。

例えば木までの距離が500 m、\(θ\)が75°だったとしましょう。

この時の\(r,\ x,\ ,\ y\)でできた直角三角形の\(\tan\theta\)を計算してみましょう。

$$\tan θ = \tan 75° = 3.73$$

となります。

そして、\(\tan\theta\)は左の図を使うと、\(\displaystyle \frac{y}{x}\)ですよね。xは今500 mです。

つまり、\(\displaystyle \frac{y}{500}=3.73\)です。

この式を使うとy(木の高さ)が求まりそうですね!

$$y=500 \times 3.73=1865 m$$

ごめんなさい。数値を適当に決めすぎました・・・・

ただ、同じ方法で山の高さなんかも測れそうですようね!

このように測量などで役に立つのが三角関数です。

三角比|まとめの1分動画

1分間のまとめ動画です。

復習などにご活用ください!

まとめ

$$\sin θ = \frac{y}{r}$$

$$\cos θ = \frac{x}{r}$$

$$\tan θ = \frac{y}{x}$$

この3つを知ることで三角関数の基礎はOKです!!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

  1. こうちょう より:

    3Dゲームを作りたいという中学生に三角関数を理解してもらうために記事を探してここにたどり着きました。

    図解と説明が素晴らしくわかりやすく、
    それを2匹の犬が会話形式で進めるので子供にも読みやすいですね。

    木の高さを図るという例から三角関数が実用的で便利なものだということが子供にもわかり興味を持って読めますね!

    ぜひこの記事を紹介したいと思います。

    p.s.

    最初のsin cos tan の説明図ですが
    sinとcosが逆になっているような気がします。
    私の勘違いでしょうか

    • トムソンKota より:

      コメントありがとうございます!

      コメントを承認制にしているため、公開が遅くなってしまいました。
      すみません。

      お褒めの言葉いただき、さらにサイトを発展させる意欲が湧きました。
      今後もがんばっていきます。

      ご指摘の点ですが、逆になっていますね。
      なるべく早く修正いたします!

  2. ma より:

    tanθ=tan75°=3.73となります。
    ここが分からないんですが、どういった計算でこの3.73が出てくるんでしょうか・・

    • トムソントムソン より:

      ご質問ありがとうございます。

      tan75°=3.73
      は「決まっている値」になります。
      計算で求めるのではなく、tan75°=3.73は既に決まっていると理解する方がわかりやすいと思います。
      円周率=3.14・・・ と同じ感じです。

      例えば数学の教科書がお手元にありましたら、最後の方に三角関数表というページがありますので、
      tan75°の値を見てみてください。3.7320・・・と書いてあると思います。

      数学の教科書がない場合は、
      https://keisan.casio.jp/exec/system/1260261251
      こちらのサイトで計算ができますので、お試しください!

      • ma より:

        ありがとうございます。
        もしかして、その値を求める式が正弦定理や余弦定理という奴でしょうか?
        恥ずかしながら私は学生ではなく社会人で、それももう結構な歳のものです・・
        コロナの影響もあり家で過ごすことが増えましたので、どうせ引きこもるなら何か意味のある事をしようと思っていた矢先にyoutubeで数学関連の動画を見たのをキッカケに独学でアレコレ学び始めたもので・・
        自身が学生であった時分の曖昧な記憶を頼りに、継ぎ接ぎのような知識を元に考えているためどうしても理解できない部分があり質問させていただきました。
        貴重なお時間を割いていただき回答くださった事に感謝します。

        • トムソントムソン より:

          そうでしたか!
          トムラボは『誰でも』数学を学べる場所の提供を目標にしているので、活用いただけたなら本当に嬉しいです。

          質問についてですが、正弦定理・余弦定理は使い所がちょっと違います。

          もう少し簡単なところから解説させてください。
          まずtanとは何かです。
          三角比は『直角三角形(角の1つが直角の三角形)』を対象に、辺の長さの比を表しています。
          (もう少し深く学ぶと直角三角形は円になりますが、一旦直角三角形で考えましょう!)

          直角三角形の3本の辺にr、x、yと名前を付けたとします。
          すると、辺の長さを比べるパターンが3パターンできます。
          rとx rとy xとy
          の3パターンです。
          これに名前を付けたのが、sin cos tan というわけです。
          rとxはcos
          rとyはsin
          xとyはtan
          と言った具合です。
          (記事の画像通りに当てはめています。)

          そして、tan 75°の75°は直角三角形の直角を右下に置いた時、左下にくる角度です。
          つまりtan 75°は、直角三角形で左下の角度が75°のときのxとyの比になります。
          比と言いましたが、数学的にはx分のyになります。

          これが3.73となります。
          この値は三角形を拡大しても、縮小しても絶対に3.73です。
          三角形は内角の角度が同じであれば、辺の比は変わらないという性質を持っているからです。
          これを『三角形の相似』と言いますが、当サイトではまだ解説できていないので、検索してみると面白いと思います。
          相似の三角形の中だと、
          30° 60° 90°の三角形の辺の比が1:2:√3というのは有名な三角形ですね。

          というわけで、tan 75°=3.73の解説でした。
          正弦定理や余弦定理は直角三角形じゃなくても使えるよー
          面積とか出せるよー
          という定理になります。
          こちらはトムラボで解説があるので、よかったら読んでみてください!

          質問はいつでも募集してます!笑
          余弦定理:https://rikeinvest.com/math/sankaku/yoga_kakudo/
          正弦定理:https://rikeinvest.com/math/sankaku/seigenteiri/

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