三角関数講座の第４回は『正弦定理』です。慣れてしまえば難しくない定理なので、しっかりと理解しましょう！！
余弦定理に比べると使用頻度が低いためか、点数の取りこぼしが多い定理のような気がします。
この記事を読んで正弦定理をしっかりと理解しましょう。
この公式は得意だけど、余弦定理とか接弦定理とか似た名前が多いよね〜
※約10分で読み終わるので頑張りましょう！
正弦定理とは
正弦定理とは半径Rに内接する三角形で以下の式が成り立つ定理になります。下の図を見てみましょう。この図に対して、以下の式が成立します。
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$
これが正弦定理です。
正弦定理の証明１
では、証明に移りましょう。正弦定理の式の
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$
（＝２R）より前をまずは証明します。
三角比を復習
ここでの証明には三角関数を使用します。まあ定理にsinが出てきてるので当たり前ですが・・・笑
どこがsinだったかなどを一度しっかりと復習しておきましょう。
三角比・三角関数の基礎sin・cos・tanが簡単に分かる解説
それは分かるよーってあなたはサクサクと次に進んでください！
\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)までを証明
ここで下の図を見てください。
頂点Aから辺aに向けて垂線を下ろします。そして、辺aのと垂線の交点をPと置きます。このAPを2つの視点から求めることで証明します！
左の直角三角形に注目しましょう。
$$AP=c\sinB$$
と、求めることが可能ですよね。次に右の直角三角形で同様のことをすると、
$$AP=b\sinC$$
になることがわかります。あとは簡単です。いま求めた式を＝で結ぶと・・・
$$AP=c\ sinB=b\ sinC$$
$$\text{∴}\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$
同様にBからbに垂線
これまでのやって来たことをもう一回やると＝２Rまでの証明が完璧になります。さっきはAからaに垂線を下ろしましたが、今回はBからbに垂線を下ろします。
そして、同様の計算を行うことで、証明完了です。
こちらは省略させていただきますので、あなた自身で解いて見てください！分からなければコメント欄からの質問お待ちしております〜！
$$\text{∴}\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$
正弦定理の証明２
ここまでで、半分証明完了です。ここからは＝２Rの証明を行いますよー。
ただし、証明には円周角の定理を必要としますのでしっかりと復習しましょう！
円周角の定理の復習
円周角の定理は中心角は円周角の２倍といった定理です。
「まあ８割がたOK」って方はいいですが、
「ちょっと習ったのが昔すぎて・・・」という方は今のうちです！復習しましょう。
２Rまでの証明
では下の図を見ましょう。
円の中心Oから辺aに垂線を下ろします。垂線と辺aの交点をQとすると、△OBCは二等辺三角形なので、$$∠OQB＝90°$$
三角比を用いまして、BQを表すと
$$sin∠QOB=\frac{BQ}{OB}=\frac{a}{2R}\tag{1}$$
となりますね。
次に∠BACですが、中心角∠BOCの半分です。また∠BOQも∠BOCの半分です。ということは
$$∠QOB=\frac{∠BOC}{2}=∠BCA=∠A\tag{2}$$
ですよね。(1)と(2)式を使うとーーー
$$sinA=\frac{a}{2R}\Leftrightarrow\frac{a}{sinA}=2R
となります。
$$\text{∴}\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}＝２R$$
証明完了！！！
証明完了！！！
正弦定理まとめ
では、正弦定理についてまとめましょう！
- 正弦定理は以下の式で表すことができる。
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}＝２R$$
- ２Rまでしっかり覚えることが重要
- 接弦・余弦定理もしっかりと覚え、問題に応じて使用する！
となります。しっかりと3つの定理を覚えて、問題を見た瞬間に「あの式を使うんだ！」と分かるようにしましょう。
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