【正弦定理】の公式と証明|面積の計算も解説【例題で分かる解き方】

正弦定理

三角形ABC

三角形ABCがあるとき、以下の式が成り立つ。

$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\displaystyle \frac{b}{\sin B}=\displaystyle \frac{c}{\sin C}$$

また、三角形ABCに外接する半径Rの円がある時、以下の式も成り立つ。

$$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R$$

正弦定理は

  • 三角形の角度から辺の長さを求める
  • 三角形の辺から角度を求める
  • 外接円の半径を使って角度や辺の長さを求める
  • 三角形から外接円の半径を求める

などの様々な使い方ができる、とっても便利な定理です。

今回はそんな正弦定理の公式と証明、使い方などを紹介していきたいと思います!

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正弦定理とは

正弦定理とは半径\(R\)に内接する三角形で以下の式が成り立つ定理になります。

下の図を見てみましょう。

この図に対して、以下の式が成立します。

正弦定理
正弦定理とは

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

これが正弦定理です。

角度や辺の長さから、他の角度や外接円の半径が分かる公式ですね。

もちろん外接円の半径から、三角形の情報を計算することもできます!

正弦定理の証明1

では、証明に移りましょう。

まずは、外接円を考えないで三角形部分のみの証明を行います。

具体的には下記の式を証明していきます!

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

正弦定理の証明|三角形のみ

正弦定理の証明(三角形のみ)
正弦定理の証明(三角形のみ)

三角形\(ABC\)の頂点\(A\)から辺\(a=BC\)に向けて垂線を下ろす。

辺aのと垂線の交点を\(P\)とする。

線分APは下記の2つの式で表すことができる。

$$AP=b\sin C$$

$$AP=c\sin B$$

これらの式をイコールで結び計算すると、

\begin{eqnarray} b\sin C&=&c\sin B\\
\displaystyle \frac{b}{\sin B} &=&\displaystyle \frac{c}{\sin C} \end{eqnarray}

となる。

$$∴\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$

同様に、頂点\(B\)から垂線を辺\(b=AC\)に降ろし、垂線と辺bの交点をQとする。

線分BQは下記の式で表すことができる。

$$BQ=c\sin A=a\sin C$$

以上より、

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

となる。

正弦定理の証明2

ここまでで、半分証明完了です。

ここからは外接円を含めた証明を行います!

$$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R$$

この式の証明です。

トムソン
トムソン

証明には円周角の定理を使いますよ!もし、自信がなかったらリンクから復習しておきましょう!一応うろ覚えでも分かる解説にはしてあります。

円周角の定理の復習

円周角の定理は、ざっくり言うと『中心角は円周角の2倍』という定理です。

「ちょっと習ったのが昔すぎて・・・」という方は今のうちです!復習しましょう。

正弦定理と外接円の証明

では下の図を見てみましょう。

三角形ABCと外接円を表しています。

\(∠B\)と\(∠C\)から、円の中心である点Oに向かって線を引きます。

点Oから辺aに垂線を下ろします。

垂線と辺aの交点をPとする。

線分OBと線分OCは円の半径なので、\(OB=OC\)

つまり△OBCは二等辺三角形なので、

\begin{eqnarray} BP &=& PC\\∠POB&=&\displaystyle \frac{1}{2}∠BOC\end{eqnarray}

となる。

\(∠POB\)のサインを変形表すと、

$$\sin ∠POB=\frac{BP}{OB}=\frac{a}{2}\displaystyle \frac{1}{R}=\displaystyle \frac{1}{2R}\tag{1}$$

となる。

\(∠BAC\)は、円周角の定理より中心角\(∠BOC\)の半分なので、

$$∠POB=\displaystyle \frac{1}{2}∠BOC=∠BAC=∠A\tag{2}$$

となる。

(1)式に(2)式を代入すると、

$$\sin ∠POB=\sin A=\frac{a}{2R}\Leftrightarrow\frac{a}{sinA}=2R

同様に∠B、∠Cも証明計算できる。

$$∴\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

正弦定理まとめ

では、正弦定理についてまとめましょう!

  • 正弦定理は以下の式で表すことができる。

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

  • 2Rまでしっかり覚えることが重要
  • 接弦・余弦定理もしっかりと覚え、問題に応じて使用する!

となります。しっかりと3つの定理を覚えて、問題を見た瞬間に「あの式を使うんだ!」と分かるようにしましょう。

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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