【正弦定理】の公式と証明｜面積の計算も解説【例題で分かる解き方】

正弦定理

三角形ABCがあるとき、以下の式が成り立つ。

$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\displaystyle \frac{b}{\sin B}=\displaystyle \frac{c}{\sin C}$$

また、三角形ABCに外接する半径Rの円がある時、以下の式も成り立つ。

$$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R$$

正弦定理の証明｜三角形のみ

三角形\(ABC\)の頂点\(A\)から辺\(a=BC\)に向けて垂線を下ろす。

辺aのと垂線の交点を\(P\)とする。

線分APは下記の２つの式で表すことができる。

$$AP=b\sin C$$

$$AP=c\sin B$$

これらの式をイコールで結び計算すると、

\begin{eqnarray} b\sin C&=&c\sin B\\
\displaystyle \frac{b}{\sin B} &=&\displaystyle \frac{c}{\sin C} \end{eqnarray}

となる。

$$∴\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

同様に、頂点\(B\)から垂線を辺\(b=AC\)に降ろし、垂線と辺bの交点をQとする。

線分BQは下記の式で表すことができる。

$$BQ=c\sin A=a\sin C$$

以上より、

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

となる。

正弦定理と外接円の証明

では下の図を見てみましょう。

三角形ABCと外接円を表しています。

\(∠B\)と\(∠C\)から、円の中心である点Oに向かって線を引きます。

点Oから辺aに垂線を下ろします。

垂線と辺aの交点をPとする。

線分OBと線分OCは円の半径なので、\(OB=OC\)

つまり△OBCは二等辺三角形なので、

\begin{eqnarray} BP &=& PC\\∠POB&=&\displaystyle \frac{1}{2}∠BOC\end{eqnarray}

となる。

\(∠POB\)のサインを変形表すと、

$$\sin ∠POB=\frac{BP}{OB}=\frac{a}{2}\displaystyle \frac{1}{R}=\displaystyle \frac{1}{2R}\tag{1}$$

となる。

\(∠BAC\)は、円周角の定理より中心角\(∠BOC\)の半分なので、

$$∠POB=\displaystyle \frac{1}{2}∠BOC=∠BAC=∠A\tag{2}$$

となる。

(1)式に(2)式を代入すると、

$$\sin ∠POB=\sin A=\frac{a}{2R}\Leftrightarrow\frac{a}{\sin A}=2R$$

同様に∠B、∠Cも証明計算できる。

$$∴\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}＝２R$$