【接弦定理とは】公式と証明使い方をわかりやすく解説【簡単】

接弦定理は『せつげんていり』と読む、三角形と円を使った定理です。
余弦定理正弦定理と名前が似ているので、間違えないようにしましょう・。

トムソン
トムソン

接弦定理ってどんな公式だったかな?
証明も今のうちに理解しておきたい!

今回はそんな疑問を解決する、接弦定理の解説です!

分かりやすく説明しますので最後まで、読んでみてください!

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接弦定理とは

接弦定理とは何でしょうか。

接弦定理

三角形とその三角形の外接円があるとき、円の接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角と等しい

接弦定理とは

例えば上の図で言うと、円の接線と弦が作る角\(∠SAC\)とその弦に対する円周角\(∠ABC\)は等しくなります。
同様に\(∠TAB=∠ACB\)も成り立ちます。

文字だとわかりにくい定理も、図にするとわかりやすいですね。


ではここから接弦定理の証明に移っていきますね!

接弦定理の証明

接弦定理の証明には、円の接線と弦が作る角が直角・鋭角・鈍角の3パターンを証明する必要があります。

接弦定理の証明に必要な3種の証明

  1. 接弦定理|直角(90°)の場合
  2. 接弦定理|鋭角(90°以下)の場合
  3. 接弦定理|鈍角(90°以上)の場合

今回の接弦定理の証明には円周角の定理を使います。

そのため、4Stepで証明を解説していきます!
(下記をクリックしたら該当箇所までジャンプできます。)

トムソン
トムソン

円周角の定理は覚えてるよって場合は、復習を飛ばして直角の証明から読んでください!

円周角の定理復習

では、先に円周角の定理を復習しましょう!

円周角の定理

  1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
  2. ある弧に対する円周角は全て等しい
円周角の定理とは

下記リンクで円周角の定理の証明を詳細に解説をしています。
よかったら参考にしてください。

>>円周角の定理の証明<<

それでは、接弦定理の証明です。

直角・鋭角・鈍角の3パターンを1つずつ証明していきます!

トムソン
トムソン

3つあるから大変と思うかもしれませんが、『鋭角』の場合以外は簡単にできます!
安心してくださいね。

接弦定理|直角(90°)の場合

まずは直角の場合です。
下の図に円と接線、円の接線と弦が作る角が直角の図を示します。
(\(∠SAC=90°\))

ここで、証明するのは\(∠ABC=∠SAC(=90°)\)です。

接弦定理証明_直角

接弦定理の証明1|直角の場合

直線ACは円の中心(原点)を通っているため、弧ACの円周角\(∠ABC=90°\)である。
また、直線STは円の接戦であり、点Aは円と接線の接点なので、\(∠SAC=90°\)。

以上より、

$$∠ABC=∠SAC=90°$$


以上より、直角のときの接弦定理が成り立っています。
次は鋭角の場合を証明しましょう。

接弦定理|鋭角(90°以下)の場合

次に鋭角の場合です。
ここが少し難しいので頑張りましょう!
わかりやすく説明するので安心してください。

\(∠ACB=∠BAT\)の証明です。

接弦定理の証明2|鋭角の場合

円Oと円の接線STの接点Aより、円の中心Oを通る補助線DAを引く。
線ADは中心から接点に引いた線であるから、\(∠DAT=90°\)となる。

そして円の直径の円周角は\(90°\)であるから、\(∠ABD=90°\)。
さらに同じ弧の長さの円周角は、円周角の定理より角度も同じになるため、\(∠ADB=∠ACB\)である。

円周角の定理
円周角の定理

三角形の内角の和は180°なので、

$$∠ADB(◇)+∠DAB(〇)+∠ABD(90°)=180°$$

である。
以上より、$$∠ACB(◇)=∠ADB(◇)=90°-∠DAB(〇)$$となる。

次に、\(∠TAD=90°\)より、

$$∠BAT=90-∠DAB(〇)$$

となる。
以上より、

$$∠BAT=90-∠DAB=∠ACB$$となります。

鋭角の証明には円周角の定理が必須ですね。
最後に鈍角の場合の証明を見ていきましょう。

接弦定理|鈍角(90°以上)の場合

下の図に円の接線と弦が作る角度\(∠TAB<90°\)の図を示します。

接弦定理の証明|鈍角の場合
接弦定理の証明|鈍角の場合

ここで\(∠TAC=∠ABC\)を証明していきます。
前提として、鋭角の場合の接弦定理は証明済なので使えます。

つまり、\(∠A=∠C\)は使ってOKです。

接弦定理の証明3|鈍角の場合

接弦定理の証明|鈍角の場合
接弦定理の証明|鈍角の場合

鋭角の接弦定理より、\(∠A=∠C\)である。
\(∠BAC\)を〇とすると、円の接戦は直線なので、\(◇+〇+∠TAC=180°\)とできる。

三角形の内角の和も180°であるから、同じく\(〇+◇+∠ABC=180°\)となる。

以上より、$$∠TAC=∠ABC=180-◇-○$$

となる。


以上で、鈍角の場合の接弦定理も証明完了です。

このように、接弦定理を証明するためには鋭角・直角・鈍角の3パターンの証明が必要です。
証明する機会は少ないかもしれませんが、1つだけでは証明として不十分と覚えておきましょう!

接弦定理の使い方

テスト中にどこの角とどこの角が同じだったかな〜
接弦定理を使うのは分かるんだけど・・・

となる場合があります!
そんな時は直角の証明の図を書きましょう!

トムソン
トムソン

どこの角が同じだったかなあと迷った場合は、直角の証明を思い出しましょう。
直角なら見た目で判別ができますよ!

接弦定理|まとめ

以上が接弦定理の解説となります。

接弦定理の解説
接弦定理の解説
  • 接弦定理は「◇と◇、〇と〇の角度は等しい」という定理
  • 証明は3種類ありますが、鋭角以外は理解しやすい
  • 迷った場合は直角を思い出すと、等しい角がわかる!

と言ったところですね!余弦定理正弦定理との違いもしっかり理解しておきましょう!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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