【接弦定理とは】公式と証明の分かりやすい解説【簡単です】

接弦定理は『せつげんていり』と読む定理です。

余弦定理や正弦定理と名前が似ているので、何となく理解した気になりやすい定理でもあります。

突然ですが、この3つの定理、違いをパッと説明できますか?

この定理はこんな問題に使える!くらいまで理解しておくと、点数Up間違いなしです。

また、余弦定理などと比べても簡単に理解できる定理なので、今のうちに理解しておきましょう!

トムソン
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接弦定理ってどんな公式だったかな?証明も今のうちに理解しておきたい!

今回はそんな疑問を解決する、接弦定理の解説です!

分かりやすく説明しますので最後まで、読んでみてください!

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トムソン

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接弦定理とは

接弦定理とは何でしょうか。

接弦定理

三角形とその三角形の外接円があるとき、円の接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角と等しい

接弦定理とは

この図で言うと、

円の接線と弦が作る角は\(∠SAC\)と\(∠TAB\)になります。

その弦に対する円周角は\(∠ABC\)と\(∠ACB\)になります。

文字だけだとすごく分かりにくいですが、図にするとなんとなく分かるのではないでしょうか。

接弦定理を簡単に言うと、◇と◇、〇と〇の角度は等しいよーっていう定理です。

記号を使うと\(∠TAB=∠ACB\)が◇、\(∠SAC=∠ABC\)が〇、となります。

簡単ですよね。

ではここから接弦定理の証明に移っていきますね!

接弦定理の証明

接弦定理の証明には、円の接線と弦が作る角が直角・鋭角・鈍角の3パターンを証明する必要があります。

接弦定理の証明に必要な3種の証明

  1. 接弦定理|直角(90°)の場合
  2. 接弦定理|鋭角(90°以下)の場合
  3. 接弦定理|鈍角(90°以上)の場合

この中で直角と鈍角は簡単に証明できますが、鋭角の証明には円周角の定理を使います。

そのため、4Stepで証明を解説していきます!

  1. 円周角の定理の復習
  2. 直角の場合の証明
  3. 鋭角の場合の証明
  4. 鈍角の場合の証明
トムソン
トムソン

もちろん、円周角の定理はしっかり覚えてるよって場合は飛ばしてもらって大丈夫ですよ!

円周角の定理復習

では、「ちょっと怪しい」って方は先に円周角の定理を理解しましょう!

円周角の定理

  1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
  2. ある弧に対する円周角は全て等しい
円周角の定理とは

下記リンクで詳細な円周角の定理の解説をしているので、うろ覚えの場合は復習すると良いでしょう!

それでは、接弦定理の証明です。

直角・鋭角・鈍角の3パターンを1つずつ証明していきます!

トムソン
トムソン

3つあるから大変と思うかもしれませんが、『鋭角』の場合以外は簡単にできます!安心してくださいね。

接弦定理|直角(90°)の場合

まずは直角の場合です。

図を見ましょう。

証明するのは\(∠ABC=∠SAC(=90°)\)です。

接弦定理証明_直角

接弦定理の証明1|直角の場合

\(∠ABC=90°\)なので、直線ACは円の中心を通っています。

弧ACの円周角である∠ABCは90°なので、ACは円の直径になるはずだからです。

また、直線STは円の接戦なので、∠SAC=90°ですよね。

以上より、

$$∠ABC=∠SAC=90°$$

となり接弦定理が成り立っています。

以上で直角の場合の証明は終了となります。

接弦定理|鋭角(90°以下)の場合

次に鋭角の場合です。ここが少し難しいので頑張りましょう!

分かりやすく説明するので安心してください。

∠ACB=∠TABの証明です。

接弦定理の証明2|鋭角の場合

まずは円の接点Aから中心Oを通る補助線DAを引きます。

中心から接点に引いた線なので、\(∠DAT\)は直角です。

そして円周角の定理より、\(∠ABD=90°\)です。

さらに、弧の長さが同じであれば角度も同じになるので、\(∠ADB=∠ACB\)も成り立ちます。

円周角の定理
円周角の定理

三角形の内角の和は180°なので、

$$∠ADB(◇)+∠DAB(〇)+∠ABD(90°)=180°$$

です。つまり$$∠ACB(◇)=∠ADB(◇)=90°-∠DAB(〇)$$となります。

次に\(∠BAT\)です。

\(∠TAD\)が\(90°\)なので、

$$∠BAT=90-∠DAB(〇)$$

以上より、

$$∠BAT=90-∠DAB=∠ACB$$となります。

鋭角の証明には円周角の定理が必須ですが、やり方がわかればそこまで難しくないと思います。

接弦定理|鈍角(90°以上)の場合

最後に鈍角の証明をしましょう。図で言うと、

\(∠TAC=∠ABC\)の証明です。

接弦定理の証明|鈍角の場合
接弦定理の証明|鈍角の場合

接弦定理の証明3|鈍角の場合

接弦定理の証明|鈍角の場合
接弦定理の証明|鈍角の場合

ここでは\(∠TAC=∠ABC\)を証明していきます。

図で言うと\(△=△\)の証明です。

鋭角の証明は既に完了しているので\(◇=◇\)は成り立ちます。

\(∠BAC\)を〇とすると、円の接戦は直線なので、\(◇+〇+∠TAC=180°\)とできます。

三角形の内角の和も180°ですので、同じく\(〇+◇+∠ABC=180°\)です。

以上より、$$∠TAC=∠ABC$$

となり、鈍角の場合の証明は完了です!

トムソンのポイント|接弦定理

テスト中にどこの角とどこの角が同じだったかな〜接弦定理を使うのは分かるんだけど・・・

となる場合があります!そんな時は直角の証明の図を書きましょう!

トムソン
トムソン

どこの角が同じだったかなあと迷った場合は、直角の証明を思い出しましょう。直角なら見た目で判別ができますよ!

接弦定理|まとめ

以上が接弦定理の解説となります。

接弦定理の解説
接弦定理の解説
  • 接弦定理は「◇と◇、〇と〇の角度は等しい」という定理
  • 証明は3種類ありますが、鋭角以外は理解しやすい
  • 迷った場合は直角を思い出すと、等しい角がわかる!

と言ったところですね!余弦定理正弦定理との違いもしっかり理解しておきましょう!

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