【接弦定理とは】公式と証明使い方をわかりやすく解説【簡単】

接弦定理は『せつげんていり』と読む、三角形と円を使った定理です。
余弦定理や正弦定理と名前が似ているので、間違えないようにしましょう・。

トムソン

接弦定理ってどんな公式だったかな？
証明も今のうちに理解しておきたい！

今回はそんな疑問を解決する、接弦定理の解説です！

分かりやすく説明しますので最後まで、読んでみてください！

接弦定理とは

接弦定理とは何でしょうか。

接弦定理

三角形とその三角形の外接円があるとき、円の接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角と等しい

例えば上の図で言うと、円の接線と弦が作る角\(∠SAC\)とその弦に対する円周角\(∠ABC\)は等しくなります。
同様に\(∠TAB=∠ACB\)も成り立ちます。

文字だとわかりにくい定理も、図にするとわかりやすいですね。

ではここから接弦定理の証明に移っていきますね！

接弦定理の証明

接弦定理の証明には、円の接線と弦が作る角が直角・鋭角・鈍角の３パターンを証明する必要があります。

今回の接弦定理の証明には円周角の定理を使います。

そのため、４Stepで証明を解説していきます！
（下記をクリックしたら該当箇所までジャンプできます。）

トムソン

円周角の定理は覚えてるよって場合は、復習を飛ばして直角の証明から読んでください！

円周角の定理復習

では、先に円周角の定理を復習しましょう！

円周角の定理

1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
2. ある弧に対する円周角は全て等しい

下記リンクで円周角の定理の証明を詳細に解説をしています。
よかったら参考にしてください。

>>円周角の定理の証明<<

【円周角の定理】わかりやすい解説｜公式と二等辺三角形を使った証明【簡単】

数学が嫌いな人でも理解できるように、円周角の定理について工学博士が解説します。まずは定理を解説して、その証明を解説します！ ※所要時間はざっと5分～10分。円周角を完全に理解できます！

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それでは、接弦定理の証明です。

直角・鋭角・鈍角の３パターンを1つずつ証明していきます！

トムソン

3つあるから大変と思うかもしれませんが、『鋭角』の場合以外は簡単にできます！
安心してくださいね。

接弦定理｜直角（90°）の場合

まずは直角の場合です。
下の図に円と接線、円の接線と弦が作る角が直角の図を示します。
（\(∠SAC=90°\)）

ここで、証明するのは\(∠ABC＝∠SAC(＝90°)\)です。

接弦定理｜鋭角（90°以下）の場合

次に鋭角の場合です。
ここが少し難しいので頑張りましょう！
わかりやすく説明するので安心してください。

\(∠ACB＝∠BAT\)の証明です。

接弦定理の証明２｜鋭角の場合

円Oと円の接線STの接点Aより、円の中心Oを通る補助線DAを引く。
線ADは中心から接点に引いた線であるから、\(∠DAT=90°\)となる。

そして円の直径の円周角は\(90°\)であるから、\(∠ABD=90°\)。
さらに同じ弧の長さの円周角は、円周角の定理より角度も同じになるため、\(∠ADB＝∠ACB\)である。

三角形の内角の和は180°なので、

$$∠ADB(◇)＋∠DAB(〇)＋∠ABD(90°)＝180°$$

である。
以上より、$$∠ACB(◇)=∠ADB(◇)＝90°-∠DAB(〇)$$となる。

次に、\(∠TAD=90°\)より、

$$∠BAT＝90-∠DAB（〇）$$

となる。
以上より、

$$∠BAT＝90-∠DAB＝∠ACB$$となります。

鋭角の証明には円周角の定理が必須ですね。
最後に鈍角の場合の証明を見ていきましょう。

接弦定理｜鈍角（90°以上）の場合

下の図に円の接線と弦が作る角度\(∠TAB<90°\)の図を示します。

ここで\(∠TAC＝∠ABC\)を証明していきます。
前提として、鋭角の場合の接弦定理は証明済なので使えます。

つまり、\(∠A=∠C\)は使ってOKです。

接弦定理の証明３｜鈍角の場合

鋭角の接弦定理より、\(∠A＝∠C\)である。
\(∠BAC\)を〇とすると、円の接戦は直線なので、\(◇＋〇＋∠TAC＝180°\)とできる。

三角形の内角の和も180°であるから、同じく\(〇＋◇＋∠ABC＝180°\)となる。

以上より、$$∠TAC＝∠ABC=180-◇-○$$

となる。

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以上で、鈍角の場合の接弦定理も証明完了です。

このように、接弦定理を証明するためには鋭角・直角・鈍角の３パターンの証明が必要です。
証明する機会は少ないかもしれませんが、１つだけでは証明として不十分と覚えておきましょう！

接弦定理の使い方

テスト中にどこの角とどこの角が同じだったかな〜
接弦定理を使うのは分かるんだけど・・・

となる場合があります！
そんな時は直角の証明の図を書きましょう！

トムソン

どこの角が同じだったかなあと迷った場合は、直角の証明を思い出しましょう。
直角なら見た目で判別ができますよ！

接弦定理｜まとめ

以上が接弦定理の解説となります。

と言ったところですね！余弦定理や正弦定理との違いもしっかり理解しておきましょう！