接弦定理は『せつげんていり』と読む、三角形と円を使った定理です。
余弦定理や正弦定理と名前が似ているので、間違えないようにしましょう・。
接弦定理ってどんな公式だったかな？
証明も今のうちに理解しておきたい！
今回はそんな疑問を解決する、接弦定理の解説です！
分かりやすく説明しますので最後まで、読んでみてください！
接弦定理とは
接弦定理とは何でしょうか。
接弦定理
三角形とその三角形の外接円があるとき、円の接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角と等しい
例えば上の図で言うと、円の接線と弦が作る角\(∠SAC\)とその弦に対する円周角\(∠ABC\)は等しくなります。
同様に\(∠TAB=∠ACB\)も成り立ちます。
文字だとわかりにくい定理も、図にするとわかりやすいですね。
ではここから接弦定理の証明に移っていきますね！
接弦定理の証明
接弦定理の証明には、円の接線と弦が作る角が直角・鋭角・鈍角の３パターンを証明する必要があります。
接弦定理の証明に必要な３種の証明
- 接弦定理｜直角（90°）の場合
- 接弦定理｜鋭角（90°以下）の場合
- 接弦定理｜鈍角（90°以上）の場合
今回の接弦定理の証明には円周角の定理を使います。
そのため、４Stepで証明を解説していきます！
（下記をクリックしたら該当箇所までジャンプできます。）
円周角の定理は覚えてるよって場合は、復習を飛ばして直角の証明から読んでください！
円周角の定理復習
では、先に円周角の定理を復習しましょう！
円周角の定理
- ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
- ある弧に対する円周角は全て等しい
下記リンクで円周角の定理の証明を詳細に解説をしています。
よかったら参考にしてください。
>>円周角の定理の証明<<
それでは、接弦定理の証明です。
直角・鋭角・鈍角の３パターンを1つずつ証明していきます！
3つあるから大変と思うかもしれませんが、『鋭角』の場合以外は簡単にできます！
安心してくださいね。
接弦定理｜直角（90°）の場合
まずは直角の場合です。
下の図に円と接線、円の接線と弦が作る角が直角の図を示します。
（\(∠SAC=90°\)）
ここで、証明するのは\(∠ABC＝∠SAC(＝90°)\)です。
接弦定理の証明１｜直角の場合
直線ACは円の中心（原点）を通っているため、弧ACの円周角\(∠ABC=90°\)である。
また、直線STは円の接戦であり、点Aは円と接線の接点なので、\(∠SAC＝90°\)。
以上より、
$$∠ABC＝∠SAC＝90°$$
以上より、直角のときの接弦定理が成り立っています。
次は鋭角の場合を証明しましょう。
接弦定理｜鋭角（90°以下）の場合
次に鋭角の場合です。
ここが少し難しいので頑張りましょう！
わかりやすく説明するので安心してください。
\(∠ACB＝∠BAT\)の証明です。
接弦定理の証明２｜鋭角の場合
円Oと円の接線STの接点Aより、円の中心Oを通る補助線DAを引く。
線ADは中心から接点に引いた線であるから、\(∠DAT=90°\)となる。
そして円の直径の円周角は\(90°\)であるから、\(∠ABD=90°\)。
さらに同じ弧の長さの円周角は、円周角の定理より角度も同じになるため、\(∠ADB＝∠ACB\)である。
三角形の内角の和は180°なので、
$$∠ADB(◇)＋∠DAB(〇)＋∠ABD(90°)＝180°$$
である。
以上より、$$∠ACB(◇)=∠ADB(◇)＝90°-∠DAB(〇)$$となる。
次に、\(∠TAD=90°\)より、
$$∠BAT＝90-∠DAB（〇）$$
となる。
以上より、
$$∠BAT＝90-∠DAB＝∠ACB$$となります。
鋭角の証明には円周角の定理が必須ですね。
最後に鈍角の場合の証明を見ていきましょう。
接弦定理｜鈍角（90°以上）の場合
下の図に円の接線と弦が作る角度\(∠TAB<90°\)の図を示します。
ここで\(∠TAC＝∠ABC\)を証明していきます。
前提として、鋭角の場合の接弦定理は証明済なので使えます。
つまり、\(∠A=∠C\)は使ってOKです。
接弦定理の証明３｜鈍角の場合
鋭角の接弦定理より、\(∠A＝∠C\)である。
\(∠BAC\)を〇とすると、円の接戦は直線なので、\(◇＋〇＋∠TAC＝180°\)とできる。
三角形の内角の和も180°であるから、同じく\(〇＋◇＋∠ABC＝180°\)となる。
以上より、$$∠TAC＝∠ABC=180-◇-○$$
となる。
以上で、鈍角の場合の接弦定理も証明完了です。
このように、接弦定理を証明するためには鋭角・直角・鈍角の３パターンの証明が必要です。
証明する機会は少ないかもしれませんが、１つだけでは証明として不十分と覚えておきましょう！
接弦定理の使い方
テスト中にどこの角とどこの角が同じだったかな〜
接弦定理を使うのは分かるんだけど・・・
となる場合があります！
そんな時は直角の証明の図を書きましょう！
どこの角が同じだったかなあと迷った場合は、直角の証明を思い出しましょう。
直角なら見た目で判別ができますよ！
接弦定理｜まとめ
以上が接弦定理の解説となります。
- 接弦定理は「◇と◇、〇と〇の角度は等しい」という定理
- 証明は3種類ありますが、鋭角以外は理解しやすい
- 迷った場合は直角を思い出すと、等しい角がわかる！
