三角関数表のサインの表におけるsin179°の求め方

本解説では、sin 179° = 0.017452…を電卓で計算する手法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の算出方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、sin179°の計算方法紹介です。

$$\sin 179°=0.017452…$$

sin 179° を10桁表す

唐突ではありますが、sin 179°を10桁調べてみましょう！$$\sin 179° = 0.0174524064 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin179°の値を計算する

三角関数表を確認せずにsin179°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でsin179°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 179°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.124139…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 179°\)を求められます。

$$\sin 179° = 0.017452…$$