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三角関数表のサインの表におけるsin191°を解く

このページでは、sin 191° = -0.190809…を電卓で計算するやり方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求め方を説明していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin191°の計算の仕方説明です。

$$\sin 191°=-0.190809…$$

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sin 191°を10桁書いてみる

最初に、sin 191°を10桁調べてみましょう!$$\sin 191° = -0.1908089954 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin191°の値を求める

三角関数表を使用せずにsin191°の値を解くやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器を使って191°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でsin191°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 191°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.333578…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 191°\)を求められます。

$$\sin 191° = -0.190809…$$

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