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三角関数表のサインの表におけるsin256°を求める方法

このページでは、sin 256° = -0.970296…を電卓で計算する仕方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin256°の計算方法解説です。

$$\sin 256°=-0.970296…$$

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10桁のsin 256°を調べる

唐突ではありますが、sin 256°を10桁調べてみましょう!$$\sin 256° = -0.9702957263 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin256°の値を求める

三角関数表を使用せずにsin256°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して256°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin256°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 256°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.468042…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 256°\)を求められます。

$$\sin 256° = -0.970296…$$

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