今回のテーマは『文字と式』です。
文字を使った式は今後の数学でも使う、とっても重要な単元です。文字式でつまづくと数学迷子になってしまいます。
この記事を読めば、文字式の重要事項をサクッと学べるので、数学迷子にならないためにも、ぜひ最後まで読んでいってください。
文字を使った式
文字を使った式は、様々な数量を文字を使って表せるため非常に便利です。
まずは文字の使い方、ルールを学んでいきましょう。ルールがあって初めて便利なものになるからです！
文字式の表し方
文字式の表し方には、大きく３つのルールがあります。
- 「\(\times\)」の記号を省略
- 文字はアルファベット順で書き、同じ文字の積は指数で書く
- 「\(\div\)」の記号は省略して分数にする
１つずつ見ていきましょう。
ルール１｜「\(\times\)」の記号を省略
文字式では基本的に「\(\times\)」の記号を省略することができます。
数字とアルファベットがある場合は、数字が先です。
【例えば】
$$40\times x \rightarrow 40x,\ a\times 32 \rightarrow 32a$$
といった感じです。
ポイントは、数字\(\rightarrow\)アルファベット で 「\(\times\)」を省略 です！
ルール２｜文字はアルファベット順で同じ文字の積は指数
文字が複数ある場合は基本的にアルファベット順で書きます。
同じ文字があったら指数で表示します！
【例えば】
$$4\times y \times x=4xy,\ a\times a\times x=a^2x$$
といった感じ。
\(m,\ n\)などが同時に使われると、どっちが先だっけ？？ってなることがあるので注意しましょう！
\(m\)が先ですよ！
ルール３｜「\(\div\)」の記号は省略して分数にする
「\(\div\)」の記号は省略して分数で表すこともできます。
【例えば】
$$5\div x=\displaystyle \frac{5}{x},\ (6-y)\div5=\displaystyle \frac{6-y}{5}$$
って感じです。
分母と分子を逆に書くのはあるあるなので注意ですよ！
\(6\div 2=3\)だから\(6\div 2=\displaystyle \frac{6}{2}\)で、\(\div\)の後ろの数が下（分母）だ！って覚えましょう。
円周率について｜\(\pi\)の置き方
文字式での円周率の扱い方について解説していきます。
数学では円周率の\(3.14\cdots\)を1文字で簡単に『\(\pi\)(ぱい)』と書き表します。
つまり\(\pi\)は文字であると同時に、\(3.14\cdots\)という数字でもあるのです。
数学では、文字だけど数字を表している文字はたくさんあります。
文字式では、こういった『文字だけど数字』を『数字と文字の間』に書く決まりです。
【例えば】
$$x\times \pi\times4=4\pi x$$
といった感じです。
文字式への代入と式の値
次は代入の式の値です。
文字式は代入を使うことで、便利さが格段に上がります。
具体的に見ていきましょう。
代入とは
代入とは、『文字の代わりに数字を入れること』です。
一旦文字で計算して、シンプルな式になったあとで、数字を入れるだったり、
文字で計算して、正しいか確認のために代入することがあります。
式の値とは
式の値は、『代入して計算した結果の値』のことです。
文字を数字に置き換えるまでが『代入』で、代入した式で計算した結果が『式の値』ですよ！
一次式の加法と減法
ここからは文字式の計算です。
まずは一次式の加法と減法について解説します。
用語の解説｜項・係数・一次式
実際に計算する前に用語を解説します。計算するには用語の意味を知っておく必要があるからです。
解説する用語は３つです。
- 項
- 係数
- 一次式
では１つずつ見ていきましょう。
項
項とは、『式を加法だけで表すときに、\(+\)の記号で結ばれた１つ１つの式』のことです。
【例えば】
\(5x-4\)であれば、\(5x+(-4)\)なので\(+\)記号で結ばれた\(5x\)と\(-4\)が項となります。
また、文字を１つだけ含む項のことを一次の項と呼びます。
【例えば】
$$5x,\ 4y,\ 12z$$
って感じです。\(5xy\)は文字が２つなので二次の項です。
係数
係数とは、『文字がある項の数の部分のこと』です。
【例えば】
\(5x-4\)であれば、文字がある項は\(5x\)ですね。この\(5\)が係数となります。
$$4x\rightarrow4,\ 6y\rightarrow6$$
文字がある項の数の部分ですよ！
一次式
一次式とは、『一次の項だけ、もしくは一次の項と数の項で表された式のこと』です。
要するに、最大でも項に含まれてる文字は1個だけだよね？ってことです。
【一次式の例】
$$4x,\ 5y-1,\ -3z+5$$
このようなイメージですね。文字が２つあったら一次式ではありません！笑
一次式の加法
それでは、計算に入っていきます。
一次式の加法では、文字が同じ項同士だけ和を求めます。数の項はそのまま数の項とだけ足します。
$$4x+5+2x+3=4x+2x+5+3=6x+8$$
このように、同じ文字は同じ文字同士しか足すことができません！
一次式の減法
一次式の減法は、ほとんど加法と同じです。『引く式の項は符号を反転させて加える』が一応数学のルールになっていますが、「引くだけだな！」と思っておいて大丈夫です。
$$4a-3+7-3a=4a-3a-3+7=a+4$$
となります。かっこがあると計算を間違いやすいので注意です。
$$(3x+4)-(5x+2)=(3x+4)+(-5x-2)=-2x+2$$
このように、かっこで囲われていたら『引く式の項は符号を反転させて加える』を忠実に守ることになります。
\(-(5x+2)\rightarrow+(-5x-2)\)ですね。まあ、たくさん計算すれば慣れていきますよ！
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一次式の乗法と除法
次は一次式の乗法と除法です。
慣れると場合分けはしなくても計算できるのですが、最初なので少しパターン分けをしています。
一次式の乗法（項が１つ）
まずは、「項が１つの一次式」と「数」の乗法です。
$$4x\times5=4\times5\times x=20x$$
となります。このように数どうしの積に文字をかけます。
数は数、文字は文字と分けているのですね。
一次式の乗法（項が２つ）
次は「項が２つの一次式」と「数」の乗法です。
これは簡単に言えば分配法則を使おう！になります。
$$a(b+c)=ab+ac$$
っていうやつです。
$$4\times(2y-3)=4\times2y+4\times(-3)=8y-12$$
このように、計算します。分配法則はとても良く使うので、忘れてた！って方はこの記事で復習しておきましょう。
また、分数を含む乗法だと、先に約分して計算します。
$$6\times\displaystyle \frac{2x-9}{3}=2\times(2x-9)=4x-18$$
この式だと\(6\)と分母の\(3\)を先に約分していますね！
一次式の除法（一次式と数）
ここからは除法、割り算の解説です。
「一次式」と「数」の除法を計算します。基本的には分数で表すか、逆数をかけるかの２パターンです。
【分数で表す例】
$$8x\div3=\displaystyle \frac{8x}{3},\ 5\div4x=\displaystyle \frac{5}{4x}$$
こうなります。
【逆数をかける例】
$$\displaystyle \frac{4x}{5}\div\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{4x}{5}\times\displaystyle \frac{3}{2}=\displaystyle \frac{6x}{5}$$
こうなります。
どっちが良い悪いはありませんので、自分がやりやすい方で計算しましょう。
個人的には、計算式にすでに分数があれば、逆数をかける方がやりやすいと思います！
関係を表す式｜等式と不等式
最後に等式と不等式について解説していきます。
等式とは
等式とは、『等号（\(=\)）を使って、２つの数量の関係を示した式』のことです。
【例えば】1個100円のお菓子を\(x\)個買ったら、600円の代金になった。とすると、
$$100\times x=600$$
という式が成り立ちます。\(100x=600\)ですね。これを等式と呼びます。
文字が２つでも３つでも等式は作れます。
『1本\(a\)円のお菓子を10個買ったら、代金は\(b\)円だった』であれば、
\(10a=b\)となるのです。
不等式とは
不等式とは、『不等号を使って、２つの数量の関係を表した式』です。
不等号には４種類あります。
\(>,\ ≧,\ ≦,\ <\)の４つです。左から順に意味を解説すると、
- 左は右より大きい
- 左は右以上
- 右は左以上
- 右は左より大きい
となります。開いている方が大きいと覚えましょう！
【例題】『\(x\)個のお菓子を\(5\)個ずつ\(y\)人に配ると足りなかった』を不等式で表しなさい。
【解答】\(x<5y\)
【解説】「\(5\)個ずつ\(y\)人に配る」は\(5y\)で\(x\)個のお菓子じゃ足りなかった、つまり\(x\)
個のお菓子より\(5y\)が大きいので、\(x<5y\)です。
左辺と右辺と両辺
最後に１つ用語の説明をして終わります。
さっきから「左が」とか「右より」とか説明していましたが、実は数学的な用語があります。
等号や不等号よりも左側を「左辺（さへん）」、右側を「右辺（うへん）」、両方合わせて「両辺（りょうへん）」と言います。
覚えておくと便利ですよ！
今回は以上です！
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