tan π/12を半角の公式で求める方法

tan π/12 (tan 15°)の値を計算します。

tan π/12 = 2-√3です。

この計算を半角の公式を使って求めていきます。

$\tan\displaystyle \frac{\pi}{12}$の求め方

$\tan\displaystyle \frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$です。

この計算を半角の公式を使って求めていきます。
半角の公式については、下記の記事が参考になります。

>>半角の公式とは<<

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半角の公式より、
$\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$である。

ここで$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{6}$とする。

$\tan ^2 \displaystyle \frac{\pi}{12}\\$
$=\displaystyle \frac{1-\cos {\pi}{6}}{1+\cos {\pi}{6}}\\$
$=\displaystyle \frac{1-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\$
$=\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
$=\displaystyle \frac{(2-\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$=\displaystyle \frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}$
$=$(2-\sqrt{3})^2

$0< \displaystyle \frac{\pi}{12}< \displaystyle \frac{\pi}{2}$より、

$\tan \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$であるから、

$\tan\displaystyle \frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$となる。

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計算は以上です。
ここから、上記計算に出てきた公式について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

1. 半角の公式
2. $\tan \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$の理由

半角の公式

半角の公式は下記の3つの公式のことです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

証明や使い方などの詳しい解説は、下記の記事が参考になります。

>>半角の公式とは<<

三角関数の定義｜$\tan \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$の理由

計算の途中で、
『$0< \displaystyle \frac{\pi}{12}< \displaystyle \frac{\pi}{2}$より、
$\tan \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$であるから』と記載がありました。

その理由を説明します。

角度$\displaystyle \frac{\pi}{12} $は点Pのエリアです。

つまりXとYは正の数のため、$\tan α=\displaystyle \frac{Y}{X}>0$となります。

三角関数の定義については、下記の記事が参考になります。

>>三角関数の定義<<