今回は三角関数の逆数(\(1/\cos x\))の積分です。
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos x}dx\)を計算して下記の積分を求めていきます。
$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos x}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|$$
※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略しています。
\(1/\cos x\)を積分する方法
では、\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos x}dx\)を計算していきましょう！
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos x}dx &=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx \\ \\
&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx\\\\
&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx \cdots(1) \end{eqnarray}
ここで、部分分数分解を(1)に適用して式を変形する。
\(\displaystyle \frac{\cos x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} =\displaystyle \frac{A}{1+\sin x} +\displaystyle \frac{B}{1-\sin x}\)
とすると、
\(A(1-\sin x)+B(1+\sin x)=\cos x\)であるから、
以下のような連立方程式を立てることができる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A + B = \cos x \\
(-A + B) \sin x = 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
連立方程式より、\(A=B=\displaystyle \frac{1}{2}\cos x\)とわかる。
以上より、下記の通り部分分数分解できる。
$$\displaystyle \frac{\cos x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} =\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x} +\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin x}$$
\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\left(\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x} +\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin x}\right) dx\\\\
\end{eqnarray}
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{x}dx=\log |x|\)と
\((1+\sin x)’=\cos x\)より、
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}dx=\log |1+\sin x|\)である。
同様に、
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin x}dx=-\log |1-\sin x|\)である。
よって、
\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\left(\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x} +\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin x}\right) dx\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(\log |1+\sin x|-\log |1-\sin x|)\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\log \left| \displaystyle \frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| \end{eqnarray}
１つ１つの計算は複雑ではありませんが、多くの知識を必要とする積分ですね。
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos x}dx =\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx\)の変形は覚えておいてもいいでしょう。
最後に今回の積分に必要な関連記事をまとめておきます。
積分に必要な関連記事
$$ \displaystyle \frac{\cos x}{\cos^2 x}= \displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}$$
の式変形に使用
途中の式変形に使用
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{x}dt=\log|x|\)の積分
今回は以上です！
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