【微分】log(cos x)(ログコサインx)|合成関数の微分法

今回はlog(cos x)を微分していきます。
具体的には下記の式を証明します!

$$(\log (\cos x))’=-\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=-\tan x$$

微分には合成関数の微分法を使います。
先に上記の微分を証明して、後半で合成関数の微分法やそのほかの微分公式を解説しますね!

トムソン
トムソン

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微分|\(\log (\cos x)\)

では微分していきます。


\(y=\log (\cos x)\)のとき\(\cos x=t\)とすると、\(y=\log t\)となる。

また\((\log t)’=\displaystyle \frac{1}{t},\ (\cos x)’=-\sin x\)である。
以上より、\(\log (\cos x)\)は合成関数の微分法より、下記の通り\(y\)を\(x\)について微分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{dy}{dt}\displaystyle \frac{dt}{dx} \\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{t}(-\sin x)\\\\
&=&-\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\\\\
&=&-\tan x \end{eqnarray}


微分の計算は以上です!

最後の\(-\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=-\tan x\)は計算してもしなくてもOKです。
\(-\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\)のままでも正解です。

では、ここからは微分する際に使用した、下記4つの微分法や公式について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

解説1|合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、\(f'(g(x))\)を微分する方法です。
\(g(x)=u\)とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。


【例題】

\(y=(4x^2+5x-3)^6\)を微分せよ

【解答】

\(4x^2+5x-3=u\)とすると、\(y=u^6\)とおくことができる。

ここで、\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5\)である。
また、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5\)である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。


今回のテーマである\(\log(\cos x)\)の微分だと、\(u=\cos x\)とおいて計算しています。
1度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

解説2|\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)

\(\log x\)の微分は逆関数の微分法を使って下記のように微分します。

\begin{eqnarray}
y = \log x &\Leftrightarrow& x=e^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& e^y\\
&=&x\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\end{eqnarray}

逆関数の微分法については下記の記事で詳細に解説しています。

>>逆関数の微分法<<

また\(\log x\)の微分は下記で詳細な解説をしていますので、よかったら参考にされてください!

>>\(\log x\)の微分<<

解説3|\((\cos x)’=-\sin x\)

\((\cos x)’=-\sin x\)の証明については下記の記事で紹介しているので、気になった方はご参照ください。
三角関数の基礎的な微分になります。
マイナスがつく理由も解説しており、覚えておいて損はありませんよ!

>>\((\cos x)’=-\sin x\)の解説<<

解説4|\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)

\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)は三角関数の相互関係の公式の1つです。

式を覚えるだけでもOKです。

しかし証明や使い方、そのほかの絶対に覚えたい公式を下記の記事で解説しています。
こちらもよかったら参考にしてください!

>>三角関数の絶対に覚えたい公式<<

\(\log(\cos x)\)の微分は以上です!

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