[数3]log(sin x)の微分｜ログサインxを合成関数の微分法で微分する

今回はlog(sin x)を微分していきます。
具体的には下記の式を証明します！

$$(\log (\sin x))’=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}=\displaystyle \frac{1}{\tan x}$$

微分には合成関数の微分法を使います。
先に上記の微分を証明して、後半で合成関数の微分法やそのほかの微分公式を解説しますね！

log sin xの微分

では微分していきます。

$y=\log (\sin x)$のとき$\sin x=t$とすると、$y=\log t$となる。

また$(\log t)’=\displaystyle \frac{1}{t},\ (\sin x)’=\cos x$である。
以上より、$\log (\sin x)$は合成関数の微分法より、下記の通り$y$を$x$について微分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{dy}{dt}\displaystyle \frac{dt}{dx} \\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{t}\cos x\\\\
&=&\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{\tan x} \end{eqnarray}

微分の計算は以上です！

最後の$\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}=\displaystyle \frac{1}{\tan x}$は計算してもしなくてもOKです。
$\frac{\cos x}{\sin x}$のままでも正解です。

使用した公式の解説

では、ここからは微分する際に使用した、下記４つの微分法や公式について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

合成関数の微分法
$(\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}$
$(\sin x)’=\cos x$
$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$

解説１｜合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、$f'(g(x))$を微分する方法です。
$g(x)=u$とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。

【例題】

$y=(4x^2+5x-3)^6$を微分せよ

【解答】

$4x^2+5x-3=u$とすると、$y=u^6$とおくことができる。

ここで、$\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5$である。
また、$\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5$である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。

今回のテーマである$\log(\sin x)$の微分だと、$u=\sin x$とおいて計算しています。
１度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

解説２｜$(\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}$

$\log x$の微分は逆関数の微分法を使って下記のように微分します。

\begin{eqnarray}
y = \log x &\Leftrightarrow& x=e^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& e^y\\
&=&x\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\end{eqnarray}

逆関数の微分法については下記の記事で詳細に解説しています。

>>逆関数の微分法<<

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