【中1数学】文字と式|文字式の表し方と計算方法【掛け算・割り算も】

今回のテーマは『文字と式』です。

解説する内容!
  • 文字を使った式|表し方
  • 文字式の代入と式の値
  • 一次式の加法と減法
  • 一次式の乗法と除法
  • 関係を表す式|等式と不等式

文字を使った式は今後の数学でも使う、とっても重要な単元です。文字式でつまづくと数学迷子になってしまいます。

この記事を読めば、文字式の重要事項サクッと学べるので、数学迷子にならないためにも、ぜひ最後まで読んでいってください。

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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文字を使った式

文字を使った式は、様々な数量を文字を使って表せるため非常に便利です。

まずは文字の使い方、ルールを学んでいきましょう。ルールがあって初めて便利なものになるからです!

文字式の表し方

文字式の表し方には、大きく3つのルールがあります。

  1. 「\(\times\)」の記号を省略
  2. 文字はアルファベット順で書き、同じ文字の積は指数で書く
  3. 「\(\div\)」の記号は省略して分数にする

1つずつ見ていきましょう。

ルール1|「\(\times\)」の記号を省略

文字式では基本的に「\(\times\)」の記号を省略することができます。

数字とアルファベットがある場合は、数字が先です。

【例えば】

$$40\times x \rightarrow 40x,\ a\times 32 \rightarrow 32a$$

といった感じです。

ポイントは、数字\(\rightarrow\)アルファベット で 「\(\times\)」を省略 です! 

ルール2|文字はアルファベット順で同じ文字の積は指数

文字が複数ある場合は基本的にアルファベット順で書きます。

同じ文字があったら指数で表示します!

【例えば】

$$4\times y \times x=4xy,\ a\times a\times x=a^2x$$

といった感じ。

\(m,\ n\)などが同時に使われると、どっちが先だっけ??ってなることがあるので注意しましょう!

\(m\)が先ですよ!

ルール3|「\(\div\)」の記号は省略して分数にする

「\(\div\)」の記号は省略して分数で表すこともできます。

【例えば】

$$5\div x=\displaystyle \frac{5}{x},\ (6-y)\div5=\displaystyle \frac{6-y}{5}$$

って感じです。

分母と分子を逆に書くのはあるあるなので注意ですよ!

\(6\div 2=3\)だから\(6\div 2=\displaystyle \frac{6}{2}\)で、\(\div\)の後ろの数が下(分母)だ!って覚えましょう。

円周率について|\(\pi\)の置き方

文字式での円周率の扱い方について解説していきます。

数学では円周率の\(3.14\cdots\)を1文字で簡単に『\(\pi\)(ぱい)』と書き表します。

つまり\(\pi\)は文字であると同時に、\(3.14\cdots\)という数字でもあるのです。

数学では、文字だけど数字を表している文字はたくさんあります。

文字式では、こういった『文字だけど数字』を『数字と文字の間』に書く決まりです。

【例えば】

$$x\times \pi\times4=4\pi x$$

といった感じです。

文字式への代入と式の値

次は代入の式の値です。

文字式は代入を使うことで、便利さが格段に上がります。

具体的に見ていきましょう。

代入とは

代入とは、『文字の代わりに数字を入れること』です。

一旦文字で計算して、シンプルな式になったあとで、数字を入れるだったり、

文字で計算して、正しいか確認のために代入することがあります。

式の値とは

式の値は、『代入して計算した結果の値』のことです。

文字を数字に置き換えるまでが『代入』で、代入した式で計算した結果が『式の値』ですよ!

一次式の加法と減法

ここからは文字式の計算です。

まずは一次式の加法と減法について解説します。

用語の解説|項・係数・一次式

実際に計算する前に用語を解説します。計算するには用語の意味を知っておく必要があるからです。

解説する用語は3つです。

  1. 係数
  2. 一次式

では1つずつ見ていきましょう。

項とは、『式を加法だけで表すときに、\(+\)の記号で結ばれた1つ1つの式』のことです。

【例えば】

\(5x-4\)であれば、\(5x+(-4)\)なので\(+\)記号で結ばれた\(5x\)と\(-4\)が項となります。

また、文字を1つだけ含む項のことを一次の項と呼びます。

【例えば】

$$5x,\ 4y,\ 12z$$

って感じです。\(5xy\)は文字が2つなので二次の項です。

係数

係数とは、『文字がある項の数の部分のこと』です。

【例えば】

\(5x-4\)であれば、文字がある項は\(5x\)ですね。この\(5\)が係数となります。

$$4x\rightarrow4,\ 6y\rightarrow6$$

文字がある項の数の部分ですよ!

一次式

一次式とは、『一次の項だけ、もしくは一次の項と数の項で表された式のこと』です。

要するに、最大でも項に含まれてる文字は1個だけだよね?ってことです。

【一次式の例】

$$4x,\ 5y-1,\ -3z+5$$

このようなイメージですね。文字が2つあったら一次式ではありません!笑

一次式の加法

それでは、計算に入っていきます。

一次式の加法では、文字が同じ項同士だけ和を求めます。数の項はそのまま数の項とだけ足します。

$$4x+5+2x+3=4x+2x+5+3=6x+8$$

このように、同じ文字は同じ文字同士しか足すことができません!

一次式の減法

一次式の減法は、ほとんど加法と同じです。『引く式の項は符号を反転させて加える』が一応数学のルールになっていますが、「引くだけだな!」と思っておいて大丈夫です。

$$4a-3+7-3a=4a-3a-3+7=a+4$$

となります。かっこがあると計算を間違いやすいので注意です。

$$(3x+4)-(5x+2)=(3x+4)+(-5x-2)=-2x+2$$

このように、かっこで囲われていたら『引く式の項は符号を反転させて加える』を忠実に守ることになります。

\(-(5x+2)\rightarrow+(-5x-2)\)ですね。まあ、たくさん計算すれば慣れていきますよ!

一次式の乗法と除法

次は一次式の乗法と除法です。

慣れると場合分けはしなくても計算できるのですが、最初なので少しパターン分けをしています。

一次式の乗法(項が1つ)

まずは、「項が1つの一次式」と「数」の乗法です。

$$4x\times5=4\times5\times x=20x$$

となります。このように数どうしの積に文字をかけます。

数は数、文字は文字と分けているのですね。

一次式の乗法(項が2つ)

次は「項が2つの一次式」と「数」の乗法です。

これは簡単に言えば分配法則を使おう!になります。

$$a(b+c)=ab+ac$$

っていうやつです。

$$4\times(2y-3)=4\times2y+4\times(-3)=8y-12$$

このように、計算します。分配法則はとても良く使うので、忘れてた!って方はこの記事で復習しておきましょう。

また、分数を含む乗法だと、先に約分して計算します。

$$6\times\displaystyle \frac{2x-9}{3}=2\times(2x-9)=4x-18$$

この式だと\(6\)と分母の\(3\)を先に約分していますね!

一次式の除法(一次式と数)

ここからは除法、割り算の解説です。

「一次式」と「数」の除法を計算します。基本的には分数で表すか、逆数をかけるかの2パターンです。

【分数で表す例】

$$8x\div3=\displaystyle \frac{8x}{3},\ 5\div4x=\displaystyle \frac{5}{4x}$$

こうなります。

【逆数をかける例】

$$\displaystyle \frac{4x}{5}\div\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{4x}{5}\times\displaystyle \frac{3}{2}=\displaystyle \frac{6x}{5}$$

こうなります。

どっちが良い悪いはありませんので、自分がやりやすい方で計算しましょう。

個人的には、計算式にすでに分数があれば、逆数をかける方がやりやすいと思います!

関係を表す式|等式と不等式

最後に等式と不等式について解説していきます。

等式とは

等式とは、『等号(\(=\))を使って、2つの数量の関係を示した式』のことです。

【例えば】1個100円のお菓子を\(x\)個買ったら、600円の代金になった。とすると、

$$100\times x=600$$

という式が成り立ちます。\(100x=600\)ですね。これを等式と呼びます。

文字が2つでも3つでも等式は作れます。

『1本\(a\)円のお菓子を10個買ったら、代金は\(b\)円だった』であれば、

\(10a=b\)となるのです。

不等式とは

不等式とは、『不等号を使って、2つの数量の関係を表した式』です。

不等号には4種類あります。

\(>,\ ≧,\ ≦,\ <\)の4つです。左から順に意味を解説すると、

  • 左は右より大きい
  • 左は右以上
  • 右は左以上
  • 右は左より大きい

となります。開いている方が大きいと覚えましょう!

【例題】『\(x\)個のお菓子を\(5\)個ずつ\(y\)人に配ると足りなかった』を不等式で表しなさい。

【解答】\(x<5y\)

【解説】「\(5\)個ずつ\(y\)人に配る」は\(5y\)で\(x\)個のお菓子じゃ足りなかった、つまり\(x\)

個のお菓子より\(5y\)が大きいので、\(x<5y\)です。

左辺と右辺と両辺

最後に1つ用語の説明をして終わります。

さっきから「左が」とか「右より」とか説明していましたが、実は数学的な用語があります。

等号や不等号よりも左側を「左辺(さへん)」右側を「右辺(うへん)」両方合わせて「両辺(りょうへん)」と言います。

覚えておくと便利ですよ!

今回は以上です!

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