【半角の公式】覚え方|語呂合わせだけじゃない!3つの暗記法

今回は三角関数で習う半角の公式の覚え方です。
一言に覚え方といっても、
(1)語呂合わせで公式自体を覚える
(2)計算のやり方を覚える
(3)計算と語呂合わせを組み合わせる
この3パターンがあります。

この3パターンの覚え方を、わかりやすく解説していきます。
覚え方別のおすすめ度も紹介していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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半角の公式覚え方3パターン

半角の公式は下記の3式です。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

この3つの式を覚えるパターンは、大きく3つです。

覚え方3パターン
  • 語呂合わせで3式覚える|おすすめ度 ★
  • 1式は語呂合わせ、2式は計算方法を覚える|おすすめ度 ★★
  • 3式とも計算方法を覚える|おすすめ度★★★
半角の公式覚え方比較表

私のおすすめは、加法定理だけ覚える3つ目です。
しかし、人によって好みがあります。
自分に合った覚え方で覚えましょう!

覚え方1|語呂合わせで3式覚える

1つ目の覚え方は3式とも語呂合わせで覚える方法です。
この方法がおすすめ度 ★の理由は「三角関数は覚える式が多すぎるから」です。

半角の公式の他に「三角関数の相互関係、加法定理、倍角の公式・・・」など重要公式が多いです。
全て覚えるのは大変ですよね。
ただ、暗記が得意な方にはおすすめできる方法です。

半角の公式語呂合わせ

半角の公式の語呂合わせは下記の3つです。

半角の公式語呂合わせ3つ
  • sin|新次ハンは、自分のいちヒ子
  • cos|コス次ハンは、自分のいちタコ
  • tan|短字ハンは、いちタコ の上の いちヒ子

おすすめの語呂合わせがあったらコメント欄で教えてください!
では1つずつ解説していきます!

sinの語呂合わせ

式    :\(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\)
語呂合わせ:新次ハンは、自分のいちヒ子

語呂合わせの当てはめは↓こんな感じです。

$$\sin^2 (新次)\displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン(半)) =(は) \displaystyle \frac{1-\cos \theta(いちヒ子)}{2(自分の)}$$

cosの語呂合わせ

式    :\(\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\)
語呂合わせ:コス次ハンは、自分のいちタコ

語呂合わせの当てはめは↓こんな感じです。

$$\cos^2 (コス次)\displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン(半)) =(は) \displaystyle \frac{1+\cos \theta(いちタコ)}{2(自分の)}$$

tanの語呂合わせ

式    :\(\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} =\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \)
語呂合わせ:短字ハンはいちタコ の上の いちヒ子

語呂合わせの当てはめは↓こんな感じです。

$$\tan^2(短字) \displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン) =(は)\displaystyle \frac{1-\cos \theta\ (上のいちヒ子)}{1+\cos \theta\ (いちタコの)} $$


以上が語呂合わせです。
次に3つの式がある半角の公式のうち、1つは語呂合わせ、2つは計算方法を覚える方法を解説します!

覚え方2|語呂合わせと計算で覚える

2つ目の覚え方は、語呂合わせと計算のハイブリッドです。
おすすめ度★★の理由は、全て語呂合わせで覚えるより、覚える式の数が減るからです。

計算に下記2式は使いますが、この2式は三角関数の超重要公式なので、覚えている前提で解説します。

\begin{eqnarray}
\sin^2 x +\cos^2 x&=&1\\
\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}
\end{eqnarray}

この方法だと必要になった公式だけ、その場で求めればOKなので覚える労力が少なくて済みます。
では実際に覚え方(求め方)をみていきましょう。

半角の公式を求めるステップ

語呂合わせで覚える1式は、

\(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\)

です。
覚え方は下記の通り。

$$\sin^2 (新次)\displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン(半)) =(は) \displaystyle \frac{1-\cos \theta(いちヒ子)}{2(自分の)}$$

ここから2つのステップで求めていきます。


三角関数の相互関係である2つの式を使って、

$$\sin^2 x +\cos^2 x=1$$

から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める。
次に、

$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$

から\(\tan^2 x\)を求める方法です。
具体的に求める計算を紹介しますね!

半角の公式を求める計算

計算は2ステップで実施できます。

ステップ1

ステップ1として、下記2式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を計算します。

$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}=1\cdots(1)$$

$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\cdots(2)$$

(1)に(2)を代入して計算すると求められます。

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\left( \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\right)+\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1-\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2-(1-\cos x)}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}
\end{eqnarray}

ステップ2

$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$

上記の式を使って、\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求めます。

\begin{eqnarray}
\tan \displaystyle \frac{x}{2} &=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}


このように\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)だけ語呂合わせで覚え、残りは計算で導出できます。
テストで必要になった式だけ、その場で求めることができるのがいいですね!

では最後の覚え方です。

覚え方3|3式とも計算で求める

おすすめ度は★★★の方法です。
理由は三角関数の超重要公式と加法定理を覚えていれば、その場で計算できるため、覚える労力は非常に小さいです。
私もそうですが、暗記が苦手な方には向いていますよ!

では求めていきましょう。
求めるステップは、

  1. 加法定理から\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める
  2. \(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める
  3. \(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2},\ \cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)から\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める

となります。
半角の公式の証明と同じ流れですね。

ステップ2とステップ3は、覚え方2と同じです。
ここではステップ1「加法定理から\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める」を解説します。

ステップ1:加法定理から\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める

加法定理より、

$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A \sin B$$

ここで、\(A=B=x\)とおくと下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\cos(x+x)&=&\cos x\cos x-\sin x \sin x\\
\cos 2x&=&\cos^2 x-\sin^2x
\end{eqnarray}

三角関数の公式【\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)】を使うと、

\begin{eqnarray}
\cos 2x&=&(1-\sin^2 x)-\sin^2 x\\
&=&1-2\sin^2 x
\end{eqnarray}

と変形できます。
さらに計算すると

\begin{eqnarray}
2\sin^2 x&=&1-\cos 2x\\
\sin^2 x &=&\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}
\end{eqnarray}

となります。
最後に\(x=\displaystyle \frac{x}{2}\)を代入すると、
半角の公式の\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)になるのです。

ここからは覚え方2と同様です!
必要があれば下記の「ステップ2とステップ3」をタップしてください。
計算方法を再掲しています。

ステップ2

ステップ2として、下記2式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を計算します。

$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}=1\cdots(1)$$

$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\cdots(2)$$

(1)に(2)を代入して計算すると求められます。

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\left( \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\right)+\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1-\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2-(1-\cos x)}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}
\end{eqnarray}

ステップ3

$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$

上記の式を使って、\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求めます。

\begin{eqnarray}
\tan \displaystyle \frac{x}{2} &=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}

半角の公式覚え方|まとめ

半角の公式の覚え方を3種類紹介してきました。

覚え方3パターン
  • 語呂合わせで3式覚える|おすすめ度 ★
  • 1式は語呂合わせ、2式は計算方法を覚える|おすすめ度 ★★
  • 3式とも計算方法を覚える|おすすめ度★★★

おすすめ度は私の意見ですので、あなたにあった覚え方で覚えてしまいましょう!

また、半角の公式の証明や使い方についてもまとめた記事もあるので、ご活用ください!

>>半角の公式|まとめ<<

今回は以上です!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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