今回は三角関数の『半角の公式』の解説です。
半角の公式とは何かから、半角の公式の証明、覚え方も解説します。
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公式の証明や覚え方など、読むだけで偏差値アップできますよ！
半角の公式とは
半角の公式とは、下記に示す3つの式のことで、三角関数で使う公式です。
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
これらの式の証明をしていきましょう。
半角の公式の証明
半角の公式は下記の３式です。
sin/cos/tanを１つずつ導いていきます。
半角の公式
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
導出にはcosの「倍角の公式」を使います。
$$\cos2x=\cos^2 x-\sin^2x$$
倍角の公式の詳しい解説は下記をごらんください。
>>倍角の公式<<
それでは半角の公式を導いていきましょう。
sin(サイン)の証明
まずはsinの半角の公式を証明していきます。
倍角の公式より、
\begin{eqnarray}
\cos 2\theta &=&1-2\sin^2 \theta\\
2\sin^2 \theta&=&1-\cos 2\theta\\\\
\sin^2 \theta&=&\displaystyle \frac{1-\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}
ここで、\(\theta=\displaystyle \frac{\theta}{2}\)とすると
$$\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}$$
sinの半角の公式導出は以上です。
cos(コサイン)の証明
次はcosの証明です！
倍角の公式より、
\begin{eqnarray}
\cos 2\theta &=&2\cos^2 \theta-1\\\\
2\cos^2 \theta&=&1+\cos 2\theta\\\\
\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{1+\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}
ここで、\(\theta=\displaystyle \frac{\theta}{2}\)とする。
$$\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}$$
cosの半角の公式導出は以上です。
tan(タンジェント)の証明
最後にtanの公式を証明します。
tanの証明はsinとcosの証明とは少し違うので、しっかり途中式を確認しましょう！
証明には三角関係の相互関係の公式を使います。
$$\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
三角関数の公式より、
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
である。
また、半角の公式より
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=&\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=&\displaystyle \frac{1+\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}
である。
以上より、
\begin{eqnarray}
\tan \displaystyle \frac{\theta}{2} &=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
より詳細に証明だけを解説した記事も用意しました。
加法定理から順序良く証明したい方は、こちらもご活用ください。
>>半角の公式の証明<<
次は半角の公式の覚え方を見ていきましょう。
半角の公式の覚え方
半角の公式を覚える方法は3つあります。
- 3つの式を全て暗記する方法
- 3つとも計算のやり方を覚える方法
- 1つだけ暗記して、残りの2式は計算を覚える方法
今回は1つだけ暗記して、残りの2式は計算を覚える方法を紹介します。
残り2つの方法は下記の記事をごかくにんください！
>>半角の公式の覚え方<<
https://rikeinvest.com/math/sankaku/hankaku_oboekata/おb
覚える式
下記の\(\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}\)の式を覚えます。
（あとで語呂合わせを解説します。）
$$\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}$$
あとの２つは、下記の三角関数の相互関係の式から導けます。
\begin{eqnarray} \sin^2 \theta+\cos^2 \theta&=& 1\\\tan \theta &=& \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\end{eqnarray}
この２つです。
まずは、\(\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}\)の語呂合わせを紹介します。
その後に残り２つを導く方法を解説しますね。
解説内容
- \(\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}\)の語呂合わせ
- \(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2},\ \tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}\)の導き方
半角の公式(cos)の覚え方(語呂合わせ)
半角の公式(cos)の語呂合わせは
『小さじ 半角は イプコスの班（こさじ はんかくわ いぷこすのはん）』
です。
語呂合わせと数式の関係
\(\cos^2\)『小さじ』
\(\displaystyle \frac{\theta}{2}=\)『半角（\(\theta\)の半分）は（＝）』
\(\displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\)『イプコス（\(1+\cos \theta\)）の班（半分で\(\displaystyle \frac{1}{2}\)）』
です！
cosの半角の公式を覚えたら、sinとtanは導出できますよ！
導出方法を解説していきます。
半角の公式(sin)の覚え方
三角関数の相互関係より、
$$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta= 1$$
である。
\(\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos 2\theta}{2}\)
を使用すると、下記の通り計算できます。
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}+\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=& 1\\
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=& 1-\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}\\\\
&=&1-\displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}
\end{eqnarray}
と計算できます。
計算できる解説しましたが、余裕があれば暗記してもいいでしょう。
半角の公式のsinとcosの違いは分子の符号だけです。
\(sin:\ 1-\cos \theta\)
\(cos:\ 1+\cos \theta\)
導出でも暗記でも自分にあった方で覚えましょう！
半角の公式(tan)の覚え方
\(\tan \displaystyle \frac{\theta}{2}\)はsinとcosの式を使えば、導出と同様の方法で計算できます。
三角関数の公式より、\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
また、半角の公式より
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=&\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=&\displaystyle \frac{1+\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}
である。
以上より、
\begin{eqnarray}
\tan \displaystyle \frac{\theta}{2} &=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
半角の公式はcosを覚えておけば、導出することができます！
余裕があればsinも覚えると導出の手間が減りますよ。
半角の公式の使い方
では、半角の公式の使い方を解説します。
半角の公式は『2倍にすれば計算できる角度』を計算するときに使います。
よく分からないですよね。
具体例を見ていきましょう。
例１：\(\theta =15°\)の場合
例えば、\(\sin 15°\)を求める問題が出たとします。
\(\sin 15°\)を直接求めるには、三角関数表が必要ですね。
しかし、三角関数表が手元にないテストは珍しくありません。
では、どうやって求めるか。
半角の公式を使って角度を\(30°\)にします！
普通は弧度法を使うので、弧度法で計算します。
\(15°\)と\(30°\)を弧度法で表すと下記の通り。
$$15°=\displaystyle \frac{\pi}{12},\ 30°=\displaystyle \frac{\pi}{6}$$
\(\sin \displaystyle \frac{\pi}{12}\)を半角の公式で求める
\(\theta=\displaystyle \frac{\pi}{6}\)とすると、半角の公式より、
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\pi}{12} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \displaystyle \frac{\pi}{6}}{2}\\\\
&=& \displaystyle \frac{1-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(2-\sqrt{3})
\end{eqnarray}
$$∴\sin \displaystyle \frac{\pi}{12}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{(2-\sqrt{3})}$$
ここまで来れば、ルートは大体の値がわかるので、\(\sin 15°\)を数値で表せるわけです。
\(\sqrt{3}≒1.73\)を使うと、
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\pi}{12} &=&\displaystyle \frac{1}{4}(2-\sqrt{3})
&≒&\displaystyle \frac{1}{4}(2-1.73)\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\times0.27\\\\
&=&0.0675
\end{eqnarray}
$$∴\sin \displaystyle \frac{\pi}{12}≒0.26$$
\(\tan^2 x\)の使い方について深掘りした記事もおすすめです！
半角の公式を使う積分
また半角の公式は微分積分でも高い頻度で出てきます。
例としていくつか紹介しておきますので、興味がありましたら読んでみてください！
\((\sin^2 x)’=2\sin x \cos x=\sin 2x\)(積分の計算)
\((\cos^2 x)’=-2\sin x \cos x=-\sin 2x\) (積分の計算)
\(\displaystyle\int \cos^2 xdx=\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x\)(積分の計算)
\(\displaystyle\int \sin^2 xdx=\displaystyle \frac{1}{2}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x\)(積分の計算)
半角の公式の例題
最後に1問だけ半角の公式を使って解く例題を紹介しますね！
例題
\(\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi\)の値を求めよ
解答
\(\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi=\sqrt{2}+1\)
解説
この問題は解説すると非常に長くなるので、省略します。
なぜ\(\sqrt{2}+1\)になるか分かった方はコメントください！
解説はこちらの記事で紹介していますので、ぜひ参考にされてください！
>>半角の公式 (tanを深掘り)<<
【重要】三角関数の公式一覧
三角関数は公式を知っているかどうかで、勝負が決まります。
倍角の公式以外の重要公式もまとめたので、確認しましょう。
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