【半角の公式】の証明|加法定理から導出する導き方

今回は加法定理の証明を解説します。
加法定理から半角の公式の導き方法紹介です。

導出する半角の公式は下記の3つです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

それでは、半角の公式の作り方を解説していきましょう!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
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半角の公式|証明4ステップ

まずは半角の公式を証明する4ステップを抑えておきましょう!

半角の公式|証明4ステップ
  1. 加法定理から\(\cos 2x\)を導出
  2. \(\cos 2x\)の式から\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を導出
  3. \(\cos 2x\)の式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を導出
  4. \(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\) を \(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\) と \(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\) から導出

それでは、ステップ1から順番に解説していきます。

ステップ1:加法定理からcos 2xを導出

まずは加法定理から\(\cos 2x\)を導出します。
\(\cos 2x\)を導出することで、半角の公式の\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)と\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求めることができます。

では
\(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\)を導きます。


加法定理より、

$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A \sin B$$

ここで、\(A=B=x\)とおくと下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\cos(x+x)&=&\cos x\cos x-\sin x \sin x\\
\cos 2x&=&\cos^2 x-\sin^2x
\end{eqnarray}


これで導出は完了です。
ステップ2に移りましょう。

ステップ2:\(\cos 2x\)の式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を導出

ステップ1で作った
$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$を使って半角の公式の1つである
$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}$$を求めていきましょう。

三角関数の公式【\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)】を使うと、

\begin{eqnarray}
\cos 2x&=&(1-\sin^2 x)-\sin^2 x\\
&=&1-2\sin^2 x
\end{eqnarray}

と変形できます。
さらに計算すると

\begin{eqnarray}
2\sin^2 x&=&1-\cos 2x\\
\sin^2 x &=&\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}
\end{eqnarray}

となります。
最後に\(x=\displaystyle \frac{x}{2}\)を代入します。
これで、半角の公式の1つである下記の式は証明完了です。

$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}$$

ではステップ3に移りましょう!

ステップ3:\(\cos 2x\)の式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を導出

ステップ1で作った
$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$を使って半角の公式の1つである
$$\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}$$を求めていきましょう。

三角関数の公式【\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)】を使うと、

\begin{eqnarray}
\cos 2x&=&\cos^2 x-(1-\cos^2 x)\\
&=&2\cos^2 x-1
\end{eqnarray}

と変形できます。
さらに計算すると

\begin{eqnarray}
2\cos^2 x&=&1+\cos 2x\\
\cos^2 x &=&\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}
\end{eqnarray}

となります。
最後に\(x=\displaystyle \frac{x}{2}\)を代入します。
以上より、半角の公式の1つである下記の式は証明完了です。

$$\sin^2 x =\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}$$


\(\sin\)と\(\cos\)の半角の公式は証明できました。
最後に\(\tan\)の半角の公式の導き方を、ステップ4で解説していきます。

ステップ4:\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を \(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\) と \(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\) から導出

ステップ2とステップ3で下記の2式を証明しました。

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}
\end{eqnarray}

この2式を使って、半角の公式の\(tan\)の式の作り方を解説します。


三角関数の公式より、$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$である。

つまり、$$\tan^2 x=\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$も成り立つことがわかる。

ここに半角の公式の\(\sin\)と\(\cos\)の式を代入すると、下記の通り半角の公式の\(\tan\)を証明できる。

\begin{eqnarray}
\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=& \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{ \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}

以上で、$$\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$

の証明は完了です。

半角の公式の証明|まとめ

半角の公式を4つのステップに分けて証明しました。

STEP1では、加法定理から\(\cos 2x\)を導出する方法を解説しました。
STEP2とSTEP3で、\(cos 2x\)から、半角の公式の\(\sin\)と\(\cos\)の導き方を解説。
STEP4で半角の公式の\(\sin\)と\(\cos\)から、半角の公式の\(tan\)の作り方を解説しました。

テスト中に半角の公式を忘れてしまっても、加法定理を覚えていれば導くことができますよ!

ちなみにステップ1で求めた\(\cos 2x\)は「倍角の公式」という違う名前を持った公式です。
倍角の公式についても知っておきたい方は、こちらの記事を参考にしてください。

>>倍角の公式<<

また、半角の公式の覚え方や使い方を紹介した、まとめ記事もあるので、こちらもご参照ください!

>>半角の公式|まとめ<<

今回は以上です。

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