今回は素数とは何かについて解説していきます！
素数の解説だけでなく、素数一覧に双子素数、メルセンヌ素数、グロタンディーク素数など解説していきます！
この記事だけで、複雑怪奇な素数の世界の概要はわかるようになっています。
数学が得意な人でも楽しめて、文系でも誰でも理解できるようにわかりやすく解説しました。
ぜひ最後まで読んでみてください！
内容が多岐に渡るため、良かったらブックマークしてゆっくり読んでいただけると嬉しいです。
素数とは？全ての自然数の素になる数
素数とは、正の整数の中で1とその数自身以外の約数を持たない数のことです。
素数の持つ約数は、\(1\)とその数自身の2つしかないと言い換えることもできます。
つまり、$12$のように約数が3つ以上ある正の整数は素数ではありません。
(12の約数は1,2,3,4,6,12)
1は素数？
ここで、ある疑問が浮かびます。
「$1$は素数？」
という疑問です。
答えを言うと\(1\)は素数ではありません。
「素数の持つ約数は、\(1\)とその数自身の2つしかない」のですが、\(1\)の約数は\(1\)だけだからです。
もっと詳しく知りたいあなた、こちらの記事が参考になりますよ！
>>1が素数ではない理由<<
2は素数？
素数の性質上、偶数は素数にはなりません。
偶数だと\(1\)とその数自身の他に、\(2\)が約数になるからです。
しかし、偶数でも1つだけ素数になる数があります。
それが\(2\)です。
\(2\)の約数は\(1,\ 2\)の2つだけだからです。
「素数の持つ約数は、\(1\)とその数自身の2つしかない」の条件に合いますね。
色々な素数
ここからは色々な素数を見ていきましょう！
- 世界最大の素数
- メルセンヌ素数
- 双子素数
- グロタンディーク素数
- 素数砂漠
について紹介します。
理解しやすく、面白い素数を集めたので、ぜひ読んでみてください。
わかりやすく説明しましたよ！
世界最大の素数
最初は世界最大の素数です。
正確には最大の素数は存在しません。
どこまでも大きくなり続けると考えられています。
ここで言う最大の素数とは、「人類が発見した最大の素数」のことです。
2022年現在、人類が発見している最大の素数はこちら！
$$2^{89589933}-1$$
「なんじゃそりゃ？」
そんな声が聞こえてきそうですが、数字で書こうとすると2000万桁を超えるため、これだけで本が書けてしまうほどの大きさです。
ちなみにその本がこちらです。
ご自宅に1冊いかがでしょう？
私は絶対に買いません 笑
世界最大の素数について詳しく知りたい方は、下記の記事が参考になります。
最大の素数の歴史など、解説していますよ。
>>最大の素数について詳しく知る！<<
メルセンヌ素数とは
次はメルセンヌ素数です。
メルセンヌ素数とは、(メルセンヌ数とは)下記のような数のことです。
正の整数$n$に対して、
$$M_n=2^n-1$$
で表される数をメルセンヌ数という。
メルセンヌ数が素数であるとき、$M_n$をメルセンヌ素数という。
つまり、$M_n=2^n-1$が素数であればメルセンヌ素数と言います。
他の素数とは違うの？
他の素数と違って、メルセンヌ素数と名前がついているのは、完全数との関係が大きな理由です。
>>完全数について知る<<
ですが、ここでは他の素数と同じく素数であることには変わりありません。
そんな名前の素数もあるんだなーくらいの感覚でOKです。
「メルセンヌ素数について詳しく知りたい！」
そんなあなたのための記事は準備しています。
詳しく知りたいなら、ぜひ読んでみてください！
>>メルセンヌ素数について詳しく知る！<<
双子素数とは
3つ目は双子素数です。
双子素数とは、
隣り合う奇数がともに素数である組み合わせのこと
例えば1,2,3,4,5,6,7,,,,と自然数が続いていくとき、「隣り合う奇数がともに素数」である必要があります。
ここで、3は素数で5も素数なので一番小さい双子素数は3と5です。
双子素数は、解決していない問題がいくつもある、興味深いテーマです。
こちらも詳しい内容は下記の記事をご覧ください！
>>双子素数について詳しく知る！<<
グロタンディーク素数とは
4つ目はグロタンディーク素数です。
グロタンディーク素数は$57$のことです。
実は$57$は約数が1と57以外にもあるため、素数ではありません。
>57の約数を確認する<
グロタンディーク素数とは、アレクサンドル・グロタンディークという数学者が素数の講演をしている際に、素数の例として「$57$」を選んだことに由来します。
グロタンディークの間違いが、後世に残ってしまったのですね。
素数砂漠とは
最後は素数砂漠について解説します！
今回紹介した中で、素数砂漠が一番、私は好きです。
素数砂漠とは、素数と素数の間が広いエリアのことを指します。
例えば、114から126の間は13個の数字がありますが素数は1つもありません。
このように「素数が全然出て来ない！」そんな数字達を、砂漠に例えて素数砂漠と呼びます。
こちらも詳しい記事を作成していますので、よかったら読んでみてください。
100万までの素数砂漠について調査した力作です！
>>素数砂漠について詳しく知る！<<
キリの良い順番の素数
キリの良い順番で出てくる素数について考えてみましょう。
1番最初に出てくる素数は、\(2\)です。
では、10番目や100番目に出てくる素数ってなんでしょうか？
調べてみました！
10、100、1000、10000番目の素数って何？
- 10番目の素数は29
- 100番目の素数541
- 1000番目の素数は7919
- 10000番目の素数は104729
でした！
どんどん大きな素数になっていきますね！
\ おすすめの参考書！ /
1~1000までの素数一覧【全部で168個】
では最後に、1~1000までの素数の一覧を紹介します。
1000までだと、全部で168個あります。
\begin{eqnarray} &&2,3,5,7,11\\&&13,17,19,23,29\\&&31,37,41,43,47\\&&53,59,61,67,71\\&&73,79,83,89,97\\&&101,103,107,109,113\\&&127,131,137,139,149\\&&151,157,163,167,173\\&&179,181,191,193,197\\&&199,211,223,227,229\\&&233,239,241,251,257\\&&263,269,271,277,281\\&&283,293,307,311,313\\&&317,331,337,347,349\\&&353,359,367,373,379\\&&383,389,397,401,409\\&&419,421,431,433,439\\&&443,449,457,461,463\\&&467,479,487,491,499\\&&503,509,521,523,541\\&&547,557,563,569,571\\&&577,587,593,599,601\\&&607,613,617,619,631\\&&641,643,647,653,659\\&&661,673,677,683,691\\&&701,709,719,727,733\\&&739,743,751,757,761\\&&769,773,787,797,809\\&&811,821,823,827,829\\&&839,853,857,859,863\\&&877,881,883,887,907\\&&911,919,929,937,941\\&&947,953,967,971,977\\&&983,991,997\end{eqnarray}
20までの素数
\(20\)までだと素数の数は8個です。
$2,3,5,7,11,13,17,19$
100以下の素数
\(100\)までだと素数の数は25個です。
$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$
$53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$
今回は以上です！
素数については記載したいことが多いので、随時更新していきます！
良かったらブックマークして、ときどき覗きに来てください。
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