二次関数:平方完成を理解しよう

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全4回の二次関数講座、第3回は平方完成です。

二次関数①:グラフの書き方と頂点座標
二次関数②:最大と最小を理解しよう
二次関数③:平方完成を理解しよう←イマココ
二次関数④:練習問題(詳しい解説付き)

前回は二次関数の最大と最小を解説しました。

今回は平方完成についての解説になります。第1回の内容が理解できていないと「????」となってしまいます。

ですので、$$y=a(x-b)^2+c$$の頂点座標が分からない方がいましたら、第1回の解説を読んでおきましょう!

https://rikeinvest.com/math-1/1215/
トムくん
トムくん

でた!二次関数の魔王、平方完成。

くりまろ
くりまろ

平方完成が苦手すぎて、二次関数が嫌いになる人も多いよ。

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平方完成ってなに?

まずは平方完成って何なの?ってことについての解説です。前回までは
$$y=a(x-b)^2+c$$ のようにキレイに式がまとめられていました。

だから簡単に頂点座標は(b, c)って分かった訳です。しかし、これがもし展開された状態で表示されていたらどうでしょう。$$y=4x^2+8x+5$$の頂点座標を示せって問題があったとき、パッと答えが言えますか??

なかなか難しいですよね。そんなときに使うのが平方完成って方法になります。

使いこなすには少しコツが必要なのですが、練習すれば超絶簡単なので頑張りましょう!!

平方完成の例題

では、例題を通して使い方を学びましょう!

例題
$$y=4x^2+8x+5$$ の頂点座標を示せ。また、グラフを書け。

ではいってみましょう!

最終目標を確認しておきます。

例題の式を
$$y=a(x-b)^2+c$$ の形にすることが目標であり、これを平方完成と呼びます。

まずは、\(4x^2+8x\)の部分に注目します。これを少しいじります。

この②についてもう少し掘り下げます。

\(x^2+x\)の場合、\((x+1)^2\)となります。(これは2の半分が1なので。)

しかし、 \((x+1)^2\)を展開すると$$(x+1)^2=x^2+2x+1$$となって、最初の式と比べると+1が余分ですよね。

この+1分の帳尻を合わせているのが$$(x+1)^2-1$$の「-1」となります。

んーーー、と違和感を覚えた方も多いかもしれませんが、練習していくうちに取れるので安心してください。

まとめると以下のように変形できます。

$$\begin{align}y &=4x^2+8x+5 \\&=4(x^2+2x)+5 \\&=4[(x+1)^2-1]+5 \\&=4(x+1)^2+1\end{align}$$

この変形を「平方完成」と言います。

トムくん
トムくん

何が完成したんだ・・・笑

例題の再確認

それでは、ここまで来てもう一度例題を確認しましょう。

例題
$$y=4x^2+8x+5$$ の頂点座標を示せ。また、グラフを書け。

さっきまで、意味不明でしたがゴールが見えてきた感じがしませんか?

つまり、
$$y=4x^2+8x+5= 4(x+1)^2+1 $$ なのです。

じゃあ、頂点座標は簡単ですね。

はい、(-1, 1)です!
※(1, 1)ではない点に注意!!

平方完成のグラフを書いてみよう!

まあグラフは正直簡単で、$$y=4x^2$$のグラフを(-1, 1)から書けばOKです!

書き方を教えてよ!って方はお問い合わせから質問お願いいたします!

https://rikeinvest.com/page-384/

まとめ:平方完成

  • 平方完成とは式の変形であり、結構簡単
  • 式を変形することで、頂点座標が分かりやすくなる
  • 違和感のある変形だと思うけど、繰り返し練習すれば違和感がなくなる

ってところです。次回は練習問題ですので、チャレンジしてみてください!理解できていれば簡単ですよ〜

二次関数④:練習問題(詳しい解説付き)
全4回の二次関数講座、最終回は練習問題です。 二次関数①:グラフの書き方と頂点座標 二次関数②:最大と最小を理解しよう 二次関数③:平方完成を理解しよう 二次関数④:練習問題(詳しい解説付き)←イマココ では、...

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