今回は加法定理の証明を解説します。
加法定理から半角の公式の導き方法紹介です。
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半角の公式とは
導出する半角の公式は下記の3つです。
半角の公式
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
それでは、半角の公式の作り方を解説していきましょう！
半角の公式の証明
まずは半角の公式を証明する4ステップを抑えておきましょう！
それでは、ステップ1から順番に解説していきます。
ステップ1：加法定理からcos 2xを導出
まずは加法定理から\(\cos 2x\)を導出します。
\(\cos 2x\)を導出することで、半角の公式の\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)と\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求めることができます。
では
\(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\)を導きます。
加法定理より、
$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A \sin B$$
ここで、\(A=B=x\)とおくと下記のように計算できる。
\begin{eqnarray}
\cos(x+x)&=&\cos x\cos x-\sin x \sin x\\
\cos 2x&=&\cos^2 x-\sin^2x
\end{eqnarray}
これで導出は完了です。
ステップ2に移りましょう。
ステップ2：\(\cos 2x\)の式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を導出
ステップ1で作った
$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$を使って半角の公式の1つである
$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}$$を求めていきましょう。
三角関数の公式【\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)】を使うと、
\begin{eqnarray}
\cos 2x&=&(1-\sin^2 x)-\sin^2 x\\
&=&1-2\sin^2 x
\end{eqnarray}
と変形できます。
さらに計算すると
\begin{eqnarray}
2\sin^2 x&=&1-\cos 2x\\
\sin^2 x &=&\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}
\end{eqnarray}
となります。
最後に\(x=\displaystyle \frac{x}{2}\)を代入します。
これで、半角の公式の1つである下記の式は証明完了です。
$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}$$
ではステップ3に移りましょう！
ステップ3：\(\cos 2x\)の式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を導出
ステップ1で作った
$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$を使って半角の公式の1つである
$$\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}$$を求めていきましょう。
三角関数の公式【\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)】を使うと、
\begin{eqnarray}
\cos 2x&=&\cos^2 x-(1-\cos^2 x)\\
&=&2\cos^2 x-1
\end{eqnarray}
と変形できます。
さらに計算すると
\begin{eqnarray}
2\cos^2 x&=&1+\cos 2x\\
\cos^2 x &=&\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}
\end{eqnarray}
となります。
最後に\(x=\displaystyle \frac{x}{2}\)を代入します。
以上より、半角の公式の1つである下記の式は証明完了です。
$$\sin^2 x =\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}$$
\(\sin\)と\(\cos\)の半角の公式は証明できました。
最後に\(\tan\)の半角の公式の導き方を、ステップ4で解説していきます。
ステップ4：\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を \(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\) と \(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\) から導出
ステップ2とステップ3で下記の2式を証明しました。
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}
\end{eqnarray}
この2式を使って、半角の公式の\(tan\)の式の作り方を解説します。
三角関数の公式より、$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$である。
つまり、$$\tan^2 x=\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$も成り立つことがわかる。
ここに半角の公式の\(\sin\)と\(\cos\)の式を代入すると、下記の通り半角の公式の\(\tan\)を証明できる。
\begin{eqnarray}
\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=& \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{ \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}
以上で、$$\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$
の証明は完了です。
半角の公式の証明｜まとめ
半角の公式を4つのステップに分けて証明しました。
STEP1では、加法定理から\(\cos 2x\)を導出する方法を解説しました。
STEP2とSTEP3で、\(cos 2x\)から、半角の公式の\(\sin\)と\(\cos\)の導き方を解説。
STEP4で半角の公式の\(\sin\)と\(\cos\)から、半角の公式の\(tan\)の作り方を解説しました。
テスト中に半角の公式を忘れてしまっても、加法定理を覚えていれば導くことができますよ！
ちなみにステップ1で求めた\(\cos 2x\)は「倍角の公式」という違う名前を持った公式です。
倍角の公式についても知っておきたい方は、こちらの記事を参考にしてください。
>>倍角の公式<<
また、半角の公式の覚え方や使い方を紹介した、まとめ記事もあるので、こちらもご参照ください！
>>半角の公式｜まとめ<<
今回は以上です。
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