今回は3倍角の公式について解説していきます。
三倍角の公式とは何か、公式の覚え方と導出を紹介しますよ！
三倍角の公式とは
3倍角の公式とは、三角関数の\(3\theta\)を\(\theta\)で表すことができる公式で、下記の3つの公式からできています。
\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& 3\sin \theta-4\sin^3 \theta \\
\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta-3\cos \theta \\
\tan 3\theta&=& \displaystyle \frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
それでは、三倍角の公式の覚え方と導出を解説していきます。
３倍角の公式の覚え方
３倍角の公式は『加法定理』と『倍角の公式』を覚えておいて、その都度計算で求める覚え方がオススメです！
しかし、語呂合わせが覚えやすい人は語呂合わせで覚えましょう。
語呂合わせでの覚え方
サインの語呂合わせ
$\sin 3\theta &=& 3\sin \theta-4\sin^3 \theta \\$
サイさん、山菜マヨ再参上
コサインの語呂合わせ
$\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta-3\cos \theta \\$
コスミは４個参上、舞妓さん
（こすみは よんこ さんじょう まいこさん）
三倍角の公式の導出
では加法定理と倍角の公式を使って3倍角の公式を導出していきます。
加法定理と倍角の公式は下記の記事が参考になります。
\(\sin 3\theta\)の導出
\(\sin 3\theta=\sin(2\theta+\theta)\)として、加法定理で解いていきます。
\(\sin 3\theta=\sin(2\theta+\theta)\)とすると、加法定理より
\begin{eqnarray}
\sin 3\theta&=&\sin(2\theta+\theta)\\
&=&\sin 2\theta \cos \theta+\cos 2\theta \sin \theta\cdots(1)
\end{eqnarray}
倍角の公式より、
\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\
(b)\ \cos 2\theta &=&1-2\sin^2 \theta\
\end{eqnarray}
\((1)\)に\((a)\)と\((b)\)を代入すると、
\begin{eqnarray}
\sin 3\theta&=&\sin 2\theta \cos \theta+\cos 2\theta \sin \theta\\
&=&(2\sin \theta \cos \theta)\cos \theta+(1-2\sin^2 \theta )\sin \theta\\
&=&2\sin\theta \cos^2 \theta+\sin \theta -2\sin^3 \theta
\end{eqnarray}
三角関数の相互関係より、\(\cos^2 \theta=1-\sin^2\theta\)なので、
\begin{eqnarray}
&=&2\sin \theta (1-\sin^2\theta)+\sin \theta-2\sin^3 \theta\\
&=&3\sin \theta-4\sin^3 \theta
\end{eqnarray}
以上で、\(\sin 3\theta\)の導出は完了です。
\(\cos 3\theta\)の導出
\(\cos 3\theta=\cos (2\theta+\theta)\)として、加法定理で解いていきます。
\(\cos 3\theta=\cos (2\theta+\theta)\)とすると、加法定理より
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta&=&\cos (2\theta+\theta)\\
&=&\cos 2\theta \cos \theta-\sin 2\theta \sin \theta\cdots(1)
\end{eqnarray}
倍角の公式より、
\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\
(b)\ \cos 2\theta &=& 2\cos^2 \theta-1
\end{eqnarray}
\((1)\)に\((a)\)と\((b)\)を代入すると、
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta&=&\cos 2\theta \cos \theta-\sin 2\theta \sin \theta\\
&=&(2\cos^2 \theta-1)\cos \theta-(2\sin \theta \cos \theta )\sin \theta\\
&=&2\cos^3 \theta -\cos \theta-2 \sin^2 \theta \cos \theta\\
\end{eqnarray}
三角関数の相互関係より、\(\sin^2 \theta=1-\cos^2\theta\)なので、
\begin{eqnarray}
&=&2\cos^3 \theta -\cos \theta-2(1-\cos^2\theta) \cos \theta\\
&=&2\cos^3 \theta -\cos \theta-2\cos \theta+2\cos^3\theta \\
&=&4\cos^3 \theta-3\cos \theta
\end{eqnarray}
以上で証明完了です！
\(\tan 3\theta\)の導出
\(\cos 3\theta=\cos (2\theta+\theta)\)として、加法定理で解いていきます。
\(\tan 3\theta=\tan (2\theta+\theta)\)とすると、加法定理より
\begin{eqnarray}
\tan 3\theta&=&\tan (2\theta+\theta)\\
&=&\displaystyle \frac{\tan 2\theta+\tan \theta}{1-\tan 2\theta \tan \theta}\cdots(1)
\end{eqnarray}
倍角の公式より、
\begin{eqnarray}
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
\((1)\)に\((c)\)を代入すると、
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta
&=&\displaystyle \frac{\tan 2\theta+\tan \theta}{1-\tan 2\theta \tan \theta}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}+\tan \theta}{1-\left( \displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} \right) \tan \theta}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta+\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-\tan^2 \theta-2\tan^2 \theta}\\\\
&=&\displaystyle \frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
以上で証明完了です！
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【重要】三角関数の公式一覧
三角関数は公式を知っているかどうかで、勝負が決まります。
倍角の公式以外の重要公式もまとめたので、確認しましょう。
３倍角の公式はもちろん、他の公式を導出するのにも使われます。
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