[数3]tan xを置換積分法で不定積分する方法

今回は\(\displaystyle\int \tan x dx\)を積分していきます。
商の積分法の１つを使って下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int \tan xdx=-\log |\cos x|$$

※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<

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それでは\(\displaystyle\int \tan x dx\)に置換積分法を適用して計算してみましょう。

tan xの積分｜置換積分法

三角関数の相互関係より、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である。

\(\cos x=t\)とおくと、\(\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x\)より、\(-\sin x dx=dt\)となる。
これを問題の式に代入すると、以下の式を得られる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int \tan x dx &=& \displaystyle\int \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}dx \\
&=& \displaystyle\int -\displaystyle \frac{1}{t}dt\\
&=& -\log |t|\\
&=&-\log |\cos x|
\end{eqnarray}

積分の計算には\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{x}dx=\log |x|\)を利用している。

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\(\tan x\)の積分を置換積分で計算する方法を紹介しました。
実は置換積分を使わなくても、計算できる公式があるので、最後にそちらを紹介します。

分数関数の積分公式

$$\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$$

上記のように、分子が分母を微分した分数関数の場合、積分公式が使えます。
この積分公式は\(\log |f(x)|\)を微分すると簡単に解説できる公式です。

\(f(x)=t\)とすると、

\begin{eqnarray}
(\log |f(x)|)’ &=& (\log |t|)’ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{t}t’\\
&=&\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray}

と計算できます。

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では、\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|\)の公式を\(\tan x\)の積分に応用してみましょう。

tan xの積分｜分数関数の公式

先述したとおり、三角関数の相互関係より\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)です。
また、\(\cos x\)の微分は\(-\sin x\)です。

つまり\(f(x)=\cos x\)とおくと、\(\tan x\)は下記の式に直すことができます。

$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=- \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$$

以上より、\(\tan x\)を積分は\(-\log|\cos x|\)と計算できるのです。
分数関数の積分公式と途中式は下記の通りです。

\begin{eqnarray}
\tan x&=&\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\\
&=&-\displaystyle \frac{(\cos x)’}{\cos x}\\
&=& -\log |\cos x| \end{eqnarray}

今回は以上です！

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください！

>>【公式】三角関数の積分30選<<

ちなみに\(\tan x\)の微分は下記の記事で確認できます。