三角関数の合成は、a sin x+b cos yの形を１つの三角関数で表すため非常に役に立ちます。
具体的には、
- グラフを書くとき
- 最大最小値を求めるとき
- 方程式を解くとき
などで使いますね。それでは三角関数の合成について詳しく解説していきます。
三角関数の合成とは
三角関数の合成とは、下記に示す式のように2つの三角関数の値を1つの三角関数で表す変形のことを言います。
$$a\sin x+b\cos y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha)$$
ただし、
\begin{eqnarray} \cos α &=& \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin α &=&\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray}
今回はこの三角関数の合成の式を証明していきます！
実際に使う方法は別の記事としましたので、良ければご参照ください！
三角関数の合成を証明する
三角関数の合成の証明には加法定理を使うので、最初に加法定理を確認しておきましょう。
加法定理
加法定理は３つ（符号違いで計６つ）の公式かできた定理です。
\begin{eqnarray}
\sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\\ \\
\cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\\ \\
\tan (A \pm B) &=& \displaystyle \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{eqnarray}
加法定理は上記のように３つの式からできた、三角関数の最重要定理です。
三角関数の合成はもちろん、他の公式を導出するのにも使われます。
など。
忘れてた！ってときは、今のうちにしっかり覚えておきましょう！
本題の三角関数の合成を証明していきます！
三角関数の合成｜証明
座標平面上に点P(a, b)をとり、\(x\)軸と線分OPの角を\(α\)とする。
\begin{eqnarray}
OP &=& \sqrt{a^2+b^2} \\\\
\cos α &=& \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\
\sin α &=& \displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{eqnarray}
であるため、
\begin{eqnarray}
a &=&\sqrt{a^2+b^2} \cos α \\
b&=&\sqrt{a^2+b^2} \sin α \end{eqnarray}
よって、加法定理
$$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$
より、
\begin{eqnarray}
a\sin x+b\cos x
&=& \sqrt{a^2+b^2}\cos α \sin x+ \sqrt{a^2+b^2} \sin α \cos x\\
&=&\sqrt{a^2+b^2}(\sin α \cos x+\cos α \sin x)\\
&=&\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+α)
\end{eqnarray}
となります。
加法定理の使い方が、いつもと逆なので少し違和感があるかもしれません。
sinの係数がマイナスの時の三角関数の合成
では、三角関数の合成でsinの係数がマイナスの場合を検討したいと思います。
問題
次の式を１つの三角関数で表せ。
\(-\sqrt{3}\sinx+\cos x\)
計算してみましょう。
三角関数の合成は、
$$a\sin x+b\cos y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha)$$
なので、
$$a=-\sqrt{3},\ b=1$$
である。
\begin{eqnarray}
-\sqrt{3}\sinx+\cos x&=&\sqrt{(-\sqrt{3}^2+1^2}\sin (x+α)\\
&=&2\sin (x+α)
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
\cos α &=& \displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2} \\
\sin α &=& \displaystyle \frac{1}{2}
&=& 1 \end{eqnarray}
のため、\(α=\displaystyle \frac{5\pi}{6}\)である。
以上より、
$$-\sqrt{3}\sinx+\cos x=2\sin (x+\displaystyle \frac{5\pi}{6})$$
この計算のポイントは、
\begin{eqnarray}
\cos α &=& \displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2} \
\sin α &=& \displaystyle \frac{1}{2}
\end{eqnarray}
から、コサインがマイナスで、サインがプラスだから、
$$\displaystyle \frac{\pi}{2}<α<\pi$$
と気づけるかどうかです。
練習すれば絶対できるようになるから、焦らずに理解していこう！
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三角関数の合成｜まとめ
三角関数の合成とは
$$a\sin x+b\cos y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha)$$
ただし、
\begin{eqnarray} \cos α &=& \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin α &=&\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray}
今回は三角関数の合成の証明と、sinの係数がマイナスのときの計算方法を解説してきました。
三角関数の合成は、加法定理を使えば比較的簡単に計算できます。
sinの係数がマイナスの場合、（マイナスの場合に限らずですが）
\(\cos α\)と\(\sin α\)が正なのか負なのかを確認して、角度\(α\)を見極めましょう！
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