[数2]半角の公式｜tanの証明と使い方とtan3/8πの値

今回は半角の公式のtan(タンジェント)について深掘り解説をしていきます！
半角の公式は$\sin,\ \cos,\ \tan$の3つの式からできた公式で、下記のような式を示します。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

この中の$$\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} $$

について解説していきます！

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半角の公式｜tanの証明

まずは

$$\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} $$

が成り立つことを証明しましょう。

半角の公式より

\begin{eqnarray}\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2} \end{eqnarray}

である。
また、三角関数の相互関係より、

$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$である。

つまり、$$\tan^2 x=\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$も成り立つことがわかる。

ここに半角の公式の$\sin^2 x$と$\cos^2 x$の式を代入すると、下記の通り半角の公式の$\tan$を証明できる。

\begin{eqnarray}
\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=& \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{ \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}

$$∴\ \tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$

半角の公式の$\sin^2 x$と$\cos^2 x$の証明も知りたい方はこちらの記事がおすすめです。

>>半角の公式の証明<<

半角の公式｜tanの使い方

半角の公式は、タンジェントに限らずですが、簡単に求められない三角関数の値を求める時に使います。

例えば角度が、

$$\displaystyle \frac{\pi}{6},\ \displaystyle \frac{\pi}{4},\ \displaystyle \frac{\pi}{3}$$

などは簡単に求められます。
しかし$\displaystyle \frac{3}{8}\pi$などは、パッと求めるのが難しいです。
そこで使うのが半角の公式。

では実際に$\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi$を求めてみましょう。

求め方の例題｜$\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi$

【例題】
$\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi =\sqrt{2}+1$を導出せよ

この例題のポイントは

$ 0<\displaystyle \frac{3}{8}\pi<\displaystyle \frac{1}{2}\pi$なので、タンジェントの値は正の数になることです。

図で表すとこんな感じ。

これを踏まえて、
$\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi =\sqrt{2}+1$を導出していきましょう！

$\theta=\displaystyle \frac{3}{4}\pi$とおくと、

$\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{3}{8}\pi$となる。

半角の公式のタンジェントの式より、

\begin{eqnarray}
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=&\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{3}{8}\pi&=&\displaystyle \frac{1-\cos \displaystyle \frac{3}{4}\pi}{1+\cos \displaystyle \frac{3}{4}\pi}\\\\
ここで&\cos \displaystyle \frac{3}{4}\pi&=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}なので、\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{3}{8}\pi&=&\displaystyle \frac{1-\left( -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1+\left( -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\\\\
&=&\displaystyle \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}\\\\
&=&(\sqrt{2}+1)^2\\\\
ここで、0<&\displaystyle \frac{3}{8}\pi&<\displaystyle \frac{1}{2}\piより、\\\\
0<\ &\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi&\ <1である。\\\\
∴ \tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi&=&\sqrt{2}+1
\end{eqnarray}

このように、値を導けそうにない角度（今回は$\displaystyle \frac{3}{8}\pi$）でも、半角の公式を使った求め方で、計算することができます。

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