[数3]sin^2 xの微分｜サイン2乗xを合成関数の微分法、半角の公式で微分する

今回は$\sin^2 x$を微分します。
具体的には下記の式を証明します。

$$(\sin^2 x)’=2\sin x \cos x=\sin 2x$$

上記の式の$2\sin x \cos x=\sin 2x$の部分は、倍角の公式による式変形です。
$\sin^2 x$の微分は「合成関数の微分法を使う方法」と、「半角の公式を使う方法」の２種類を紹介します。

最初に微分の計算をして、後半で合成関数の微分や半角の公式を解説していきます。

$\sin^2 x$の微分

では微分していきます。
まずは、合成関数の微分法を使った微分からです。

合成関数の微分法を使った微分

$y=\sin^2 x$で$\sin x=u$とおくと、$y=u^2$となる。

ここで、

$$\displaystyle \frac{dy}{du}=2u,\ \displaystyle \frac{du}{dx}=\cos x$$

である。
以上より、合成関数の微分法を用いると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}
&=&\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\
&=& 2u\cdot (\cos x)\\
&=& 2 \sin x\cos x\end{eqnarray}

これで微分完了です。
次は半角の公式を用いて計算していきましょう。

半角の公式を使った微分

半角の公式$\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}$より、

$$\sin^2 x=\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}\cdots(1)$$

である。
$(\cos 2x)’=-2\sin 2x$であるから、(1)式より下記の通り微分することができる。

\begin{eqnarray}
(\sin^2 x)’ &=&\left( \displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}\right)’\\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(1-\cos 2x)’\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(0+2\sin 2x)\\
&=&\sin 2x \end{eqnarray}

微分の計算は以上です。

公式の解説

ここからは微分の際に使った計算方法について下記の6点解説していきます。

＋でクイズも作りました！
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

合成関数の微分法
微分｜$(\sin x)’=\cos x$
微分｜$(\cos x)’=-\sin x$
微分｜$(\cos 2x)’=-2\sin 2x$
半角の公式
倍角の公式
クイズ

解説１｜合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、$f'(g(x))$を微分する方法です。
$g(x)=u$とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。

【例題】

$y=(4x^2+5x-3)^6$を微分せよ

【解答】

$4x^2+5x-3=u$とすると、$y=u^6$とおくことができる。

ここで、$\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5$である。
また、$\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5$である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。

今回のテーマである$\sin^2 x$の微分だと、$u=\sin x$とおいて計算しています。
１度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

解説２｜$(\sin x)’=\cos x$

$$(\sin x)’=\cos x$$

上記の微分公式は$\sin x$を微分したら$\cos x$になる単純な計算です。
しかし、証明しようとすると実は結構大変です。

証明まで知りたい方は下記の解説記事を参考にしてください。
図を使ってかなりわかりやすく解説していますよ！

>>$\sin x$の微分を証明<<

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解説３｜$(\cos x)’=-\sin x$

$ (\cos x)’=-\sin x$の証明については下記の記事で紹介しています。
三角関数の基礎的な微分になります。
マイナスがつく理由も解説しており、覚えておいて損はありませんよ！

>>$\cos x)’=-\sin x$の解説<<

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解説４｜\((\cos 2x)’=-2\sin 2x

$(\cos 2x)’=-2\sin 2x$の証明については下記の記事で紹介してます。
合成関数の微分法を使う微分ですが、簡単なので練習になりますよ。

>>$\cos 2x)’=-2\sin 2x$の解説<<

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解説５｜半角の公式

半角の公式は下記の３つです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

半角の公式の証明や使い方、覚え方は下記の記事で紹介していますよ！

>>半角の公式の解説<<

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解説６｜倍角の公式

倍角の公式は下記の３つです。

２倍角の公式とは

\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}

2倍角の公式とは$(a),\ (b),\ (c)$の3つの式から成る公式である。

倍角の公式は下記の記事で解説しています。
証明や使い方、覚え方を紹介していますよ。

>>倍角の公式<<

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$\sin^2 x$の微分は以上です！

三角関数の微分クイズ！

□に入るのは？
$(\sin x)’=□$

$\cos x$

$-\sin x$

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