【微分】sin^2 x (サイン2乗x)|合成関数の微分法、半角の公式

今回は\(\sin^2 x\)を微分します。
具体的には下記の式を証明します。

$$(\sin^2 x)’=2\sin x \cos x=\sin 2x$$

上記の式の\(2\sin x \cos x=\sin 2x\)の部分は、倍角の公式による式変形です。
\(\sin^2 x\)の微分は「合成関数の微分法を使う方法」と、「半角の公式を使う方法」の2種類を紹介します。

最初に微分の計算をして、後半で合成関数の微分や半角の公式を解説していきます。

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\(\sin^2 x\)の微分

では微分していきます。
まずは、合成関数の微分法を使った微分からです。

合成関数の微分法を使った微分

\(y=\sin^2 x\)で\(\sin x=u\)とおくと、\(y=u^2\)となる。

ここで、

$$\displaystyle \frac{dy}{du}=2u,\ \displaystyle \frac{du}{dx}=\cos x$$

である。
以上より、合成関数の微分法を用いると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}
&=&\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\
&=& 2u\cdot (\cos x)\\
&=& 2 \sin x\cos x\end{eqnarray}


これで微分完了です。
次は半角の公式を用いて計算していきましょう。

半角の公式を使った微分

半角の公式\(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\)より、

$$\sin^2 x=\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}\cdots(1)$$

である。
\((\cos 2x)’=-2\sin 2x\)であるから、(1)式より下記の通り微分することができる。

\begin{eqnarray}
(\sin^2 x)’ &=&\left( \displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}\right)’\\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(1-\cos 2x)’\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(0+2\sin 2x)\\
&=&\sin 2x \end{eqnarray}


微分の計算は以上です。

使用した公式の解説とクイズ

ここからは微分の際に使った計算方法について下記の6点解説していきます。

+でクイズも作りました!
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

  1. 合成関数の微分法
  2. 微分|\((\sin x)’=\cos x\)
  3. 微分|\((\cos x)’=-\sin x\)
  4. 微分|\((\cos 2x)’=-2\sin 2x\)
  5. 半角の公式
  6. 倍角の公式
  7. クイズ

解説1|合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、\(f'(g(x))\)を微分する方法です。
\(g(x)=u\)とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。


【例題】

\(y=(4x^2+5x-3)^6\)を微分せよ

【解答】

\(4x^2+5x-3=u\)とすると、\(y=u^6\)とおくことができる。

ここで、\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5\)である。
また、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5\)である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。


今回のテーマである\(\sin^2 x\)の微分だと、\(u=\sin x\)とおいて計算しています。
1度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

解説2|\((\sin x)’=\cos x\)

$$(\sin x)’=\cos x$$

上記の微分公式は\(\sin x\)を微分したら\(\cos x\)になる単純な計算です。
しかし、証明しようとすると実は結構大変です。

証明まで知りたい方は下記の解説記事を参考にしてください。
図を使ってかなりわかりやすく解説していますよ!

>>\(\sin x\)の微分を証明<<

解説3|\((\cos x)’=-\sin x\)

\( (\cos x)’=-\sin x\)の証明については下記の記事で紹介しています。
三角関数の基礎的な微分になります。
マイナスがつく理由も解説しており、覚えておいて損はありませんよ!

>>\(\cos x)’=-\sin x\)の解説<<

解説4|\((\cos 2x)’=-2\sin 2x

\((\cos 2x)’=-2\sin 2x\)の証明については下記の記事で紹介してます。
合成関数の微分法を使う微分ですが、簡単なので練習になりますよ。

>>\(\cos 2x)’=-2\sin 2x\)の解説<<

解説5|半角の公式

半角の公式は下記の3つです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

半角の公式の証明や使い方、覚え方は下記の記事で紹介していますよ!

>>半角の公式の解説<<

解説6|倍角の公式

倍角の公式は下記の3つです。

2倍角の公式とは

\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}

2倍角の公式とは\((a),\ (b),\ (c)\)の3つの式から成る公式である。

倍角の公式は下記の記事で解説しています。
証明や使い方、覚え方を紹介していますよ。

>>倍角の公式<<

\(\sin^2 x\)の微分は以上です!

三角関数の微分クイズ!

Q1

□に入るのは?
$(\sin x)’=□$

$\cos x$

$-\sin x$

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