【積分】sin^2x(sinの2乗x)を半角の公式と倍角の公式で簡単に解く方法

\(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)を積分していきます。
三角関数の半角の公式を使って下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int \sin^2 xdx=\displaystyle \frac{1}{2}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x$$

トムソン
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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半角の公式とは

積分の計算の前に、半角の公式について簡単に復習しておきましょう。
半角の公式は、下記の3つがあります。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

今回は、\(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\)を利用して積分を解いていきますよ。

半角の公式の導出や詳しい使い方は下記のページを参考にしてください。

>>半角の公式とは<<


それでは、\(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)を積分していきましょう!

\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx\)の積分

\(\sin^2 x\)は\(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\)を利用すると下記の式に直せる。

$$\sin^2 x=\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}$$

つまり、計算する積分の式は下記のようになる。

$$\displaystyle\int\sin^2 x dx = \displaystyle\int \displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}dx\cdots(1)$$

ここで置換積分法を用いて、\(2x=t\)とすると\(dx=\displaystyle \frac{1}{2}\)となる。
\((1)\)と\(dx=\displaystyle \frac{1}{2}\)より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\sin^2 xdx &=&\displaystyle\int \displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}dx \\
&=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{2}dx-\displaystyle\int\displaystyle \frac{\cos t}{2}\cdot \displaystyle \frac{1}{2}dt\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin t\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x
\end{eqnarray}

倍角の公式を使う場合

今回の計算では半角の公式を使いましたが、倍角の公式を使って解くことも可能です。

2倍角の公式とは

\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}

2倍角の公式とは\((a),\ (b),\ (c)\)の3つの式から成る公式である。

上記の\((b)\)の式に\( \cos 2\theta =1-2\sin^2 \theta\)があります。
この式を変形すると、
\(\sin^2 x=\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}\)を求めることができるため、半角の公式を使った場合と同じ計算で積分することができます。

半角の公式と倍角の公式はどちらを使ってもOKですよ。
倍角の公式の解説ページを記載しておくので、必要があればご参照ください。

>>倍角の公式<<

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

今回は以上です!

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