【半角の公式】tanの証明と使い方|tan3/8πは何になる?

今回は半角の公式のtan(タンジェント)について深掘り解説をしていきます!
半角の公式は\(\sin,\ \cos,\ \tan\)の3つの式からできた公式で、下記のような式を示します。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

この中の$$\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} $$

について解説していきます!

トムソン
トムソン

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半角の公式|tanの証明

まずは

$$\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} $$

が成り立つことを証明しましょう。


半角の公式より

\begin{eqnarray}\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2} \end{eqnarray}

である。
また、三角関数の相互関係より、

$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$である。

つまり、$$\tan^2 x=\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$も成り立つことがわかる。

ここに半角の公式の\(\sin^2 x\)と\(\cos^2 x\)の式を代入すると、下記の通り半角の公式の\(\tan\)を証明できる。

\begin{eqnarray}
\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=& \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{ \displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}

$$∴\ \tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$


半角の公式の\(\sin^2 x\)と\(\cos^2 x\)の証明も知りたい方はこちらの記事がおすすめです。

>>半角の公式の証明<<

では\(\tan^2 x\)の使い方を解説します。

半角の公式|tanの使い方

半角の公式は、タンジェントに限らずですが、簡単に求められない三角関数の値を求める時に使います。

例えば角度が、

$$\displaystyle \frac{\pi}{6},\ \displaystyle \frac{\pi}{4},\ \displaystyle \frac{\pi}{3}$$

などは簡単に求められます。
しかし\(\displaystyle \frac{3}{8}\pi\)などは、パッと求めるのが難しいです。
そこで使うのが半角の公式。

では実際に\(\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi\)を求めてみましょう。

求め方の例題|\(\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi\)

【例題】
\(\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi =\sqrt{2}+1\)を導出せよ

この例題のポイントは

\( 0<\displaystyle \frac{3}{8}\pi<\displaystyle \frac{1}{2}\pi\)なので、タンジェントの値は正の数になることです。

図で表すとこんな感じ。

三角関数|tan(タンジェント)の正負

これを踏まえて、
\(\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi =\sqrt{2}+1\)を導出していきましょう!


\(\theta=\displaystyle \frac{3}{4}\pi\)とおくと、

\(\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{3}{8}\pi\)となる。

半角の公式のタンジェントの式より、

\begin{eqnarray}
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}&=&\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{3}{8}\pi&=&\displaystyle \frac{1-\cos \displaystyle \frac{3}{4}\pi}{1+\cos \displaystyle \frac{3}{4}\pi}\\\\
ここで&\cos \displaystyle \frac{3}{4}\pi&=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}なので、\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{3}{8}\pi&=&\displaystyle \frac{1-\left( -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1+\left( -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\\\\
&=&\displaystyle \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}\\\\
&=&(\sqrt{2}+1)^2\\\\
ここで、0<&\displaystyle \frac{3}{8}\pi&<\displaystyle \frac{1}{2}\piより、\\\\
0<\ &\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi&\ <1である。\\\\
∴ \tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi&=&\sqrt{2}+1
\end{eqnarray}


このように、値を導けそうにない角度(今回は\(\displaystyle \frac{3}{8}\pi\))でも、半角の公式を使った求め方で、計算することができます。

半角の公式|tan(タンジェント)まとめ

今回は半角の公式の\(\tan\)(タンジェント)に焦点を当てて深掘りしてきました。

\(\tan^2 x\)の式の証明と実際の使い方を解説しました。
例題では、$$\tan \displaystyle \frac{3}{8}\pi=\sqrt{2}+1$$を求める計算をしました。

この例題のように、半角の公式を使う場面は増えてきます。
半角の公式の使われ方、問題、証明など抑えるところはしっかり理解しておきましょう。

半角の公式の重要部分をまとめた記事もありますので、よかったら参考にしてください。

>>半角の公式|まとめ<<

今回は以上です!

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