[数1]二次方程式の解き方一覧(平方完成・因数分解・解の公式)

今回は二次方程式の解き方3種類を解説します！
一覧にしてまとめましたので、テスト前などにご活用ください！

二次方程式の解き方

二次方程式を解く方法は大きくこの3つです。

1. 平方完成で解く｜\((x-a)^2+b=c)\)の形
2. 因数分解で解く｜\((ax+b)(cx+d)\)の形
3. 解の公式で解く｜\(x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

1つずつ簡単に説明していきます。

解き方1｜平方完成を使う解き方

まずは平方完成で解く方法です。
平方完成のやり方の詳しい解説は下記の記事を参考にしてください。

>>平方完成のやり方<<

平方完成を使った解き方

平方完成では\(ax^2+bx+c=0\)を\((x-A)^2-B=0\)の形に直す方法です。
つまり、二次方程式の左辺が \((ax+b)^2\) の形に変形出来るとき、平方完成で解を求めることが出来ます。

とは言っても難しいと思うので、実際に数式を使って解いていきましょう！

例1：\((x-4)^2=3\) の解を平方完成を使って求めよ

まずは平方完成が既に終わってる基本形から！

このタイプの二次方程式は、すでに平方完成してあります。
※わざわざ展開してはいけませんよ！！

与式より、\(x-4=\pm\sqrt{3}\)
よって、\(x=\pm\sqrt{3}+4\) が求める解となります。 　

例2：\(x^2-4x+2=0\) の解を平方完成を求めよ

最初に左辺の\(x^2-4x+2\)を平方完成します！

\(x^2-4x+4-4+2=(x-2)^2-2=0\) と変形出来ます。
\((x-2)^2-2=0\) より、\((x-2)^2=2\)
従って、\(x-2=\pm\sqrt{2}\)
よって、\(x=\pm\sqrt{2}+2\) が求める解となります。 　

解き方2｜因数分解を使う解き方

2つめは因数分解で求める方法です。

因数分解して、\((ax+b)(cx+d)=0\) の形に変形できるとき、\(ax+b=0\)また\(cx+d=0\)から解を求めることが出来ます。

例1：\(x^2-4x+4=0\) の解を求めよ

\(x^2-4x+4=(x-2)^2=0\) に因数分解出来ます。
よって、\(x-2=0\) より \(x=2\) が求める解となります。

この時、解は1個だけです。

二次方程式は基本的に解が2つありますが、1個しかない場合があります。
これを解が重なっているとみなし重解と呼びます。 　

例2：\(2x^2-5x+3=0\) の解を求めよ

たすき掛けより、\((x-1)(2x-3)=0\) に因数分解出来ます。

\(x-1\)もしくは\(2x-3\)が\(0\)のときに等式が成り立ちます。
よって、\(x-1=0\) より \(x=1\) 、また \(2x-3=0\) より \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\) が求める解となります。

解き方3｜解の公式を使う解き方

最後は解の公式で解く方法です。
解の公式で解けば全ての二次方程式を解くことができます。

平方完成が難しい場合や、因数分解できない場合でもOKです。

解の公式とは

二次方程式が \(ax^2+bx+c=0\) の形のとき、
解の公式は \(\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) （ただし、\(b^2-4ac\geqq0\)）である。

特に \(b\) が偶数の時、\(b=2b’\) と置くと、解の公式は \(\displaystyle\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\) （ただし、\(b’^2-ac\geqq0\)）

1つ目の公式は絶対暗記しましょう！超重要です！！
2つ目の公式は余裕があれば暗記しましょう。
試験の時、計算時間が短縮できますよ！

では、実際に問題を解いてみましょう。 　

例1：\(x^2-3x-1=0\) の解を求めよ

解の公式に代入すると、

\(\displaystyle\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\)

以上が求める解となります。 　

例2：\(x^2-6x-1=0\) の解を求めよ

\(x\)の係数が偶数なので、\(6=2b’\) より \(b’=3\) となり、偶数の時の解の公式に代入すると、
\(\displaystyle\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-1\cdot(-1)}}{1}=\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{9+1}}{1}=\displaystyle3\pm\sqrt{10}\)

以上が求める解となります。 　

まとめ

左辺がすでに平方の形になっている時は、平方を展開する必要はなく、直ちに解を求めることが出来ます。
平方完成で手間取っている場合は、解の公式を利用しましょう。

因数分解が分からず、時間がかかるようであれば、解の公式を利用しましょう。

解の公式は、平方完成から導かれます。
解の公式は万能ですが、計算量が多いので、先ず、平方完成あるいは因数分解が適用できないか、考えます。
判断に迷うのであれば、早めに解の公式を利用したほうが、結果、解答時間が短くなる可能性があります。