この記事では、
- 三角関数の微分と詳しい解説
- 逆三角関数の微分と詳しい解説
を紹介します。
具体的には以下の6つの微分を解説する記事になります。
\begin{eqnarray} y &=& \sin x
\\ y &=& \cos x
\\ y &=& \tan x\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} y &=& Sin ^{-1} x
\\ y &=& Cos ^{-1} x
\\ y &=& Tan ^{-1} x\end{eqnarray}
三角関数と逆三角関数は似ているように見えて、別物なので違いを理解してもらえると嬉しいです。
※逆三角関数の参考記事
三角関数の微分
\(\sin x\)の微分
\(\sin x\)の微分$$(\sin x)’=\cos x$$
\(\sin x\)の微分が\(\cos x\)になる理由を説明しました。
なぜ、\(360^{\circ}\)法を使わずに弧度法を使っているのかも解説した記事になります。
弧度法で微分すると、$$(\sin x)’=\cos x$$になります。しかし、もし弧度法を使わずに\(\sin x\)を微分すると、$$(\sin x)’=\frac{\pi}{180}\cos x$$となってしまい、計算が複雑になります。
そういった解説をした記事が\(\sin x\)の微分記事になっております！
\(\cos x\)の微分
\(\cos x\)の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$
\(\cos x\)は微分すると\(-\sin x\)になります。\(\sin x\)は微分すると\(\cos x\)になるのに対して、\(-\sin x\)と負になる特徴があります。
そのまま覚えてしまうのも手ではありますが、この記事では、「なんでマイナスが付くのか」という点に着目して解説しております！
\(\tan x\)の微分
\(\tan x\)の微分の式
$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$
\(\tan x\)の微分は\(\sin x\)と\(\cos x\)の微分と比べると少し複雑な計算が必要になります。
理由は簡単で、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)の関係があるため、\(\sin x\)と\(\cos x\)より難しいのです。
そのため、定義での微分に加えて、商の微分公式を使った微分も解説しています！
逆三角関数の微分
逆三角関数の微分では、合成関数の微分法と逆関数の微分法を使って、微分をしました。
2つの微分法を1度で理解するのは、少し難しいと思うので、逆三角関数の微分と一緒に理解してしまいましょう！
アークサイン\((Sin^{-1}x)\)の微分
\(Sin^{-1}x\)（アークサイン）の微分$$(Sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
アークコサイン\((Cos^{-1}x)\)の微分
\(Cos^{-1}x\)（アークコサイン）の微分$$(Cos^{-1}x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
アークタンジェント\((Tan^{-1}x)\)の微分
\(Tan^{-1}x\)（アークタンジェント）の微分$$(Tan^{-1}x)’=\frac{1}{1+x^2}$$
さいごに｜三角関数と逆三角関数の微分
三角関数3つと逆三角関数3つの計6つの微分を見てきました。
三角関数だと微分の定義や加法定理で計算できたのに対して、逆三角関数は少しテクニック（微分法）を使う必要がありましたね。
しかし、この記事で全て理解できるようになっているので、心配ありません。
微分を忘れたらまた本記事に戻ってきてもらえればOKです！
>>三角関数の積分はこちら<<
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