[数B]ベクトルの内積、公式と求め方、意味を解説｜角度がわからないときも

今回はベクトルを習うと必ず通る『内積』について解説していきます。

内積はイメージが難しく、ベクトルが苦手になる要因の１つです。

しかし、意外と簡単に理解できるのもベクトルです。

そこで、ベクトルの内積とは何か、どう使えるのか、具体的な問題は？などの疑問に答えていきます！

ベクトルの内積とは

ベクトルの内積とは、下記の式で表されるベクトル特有の計算です。

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=|A||B|cos\theta$$

良く例えられるのが、「ベクトルの内積はベクトルの影」です。

図と式で見てみましょう。

ベクトルの内積の定義

ベクトルの内積の定義は下記の式で表せます。

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=|A||B|cos\theta$$

また、図から

$$\vec{A}=(a_{1},\ a_{2}),\ \vec{B}=(b_{1},\ b_{2})$$

とすると内積は余弦定理を用いることで、

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$$

と表すことができます。

　

ここは重要なのですが、

これらの式から分かるように、内積はスカラー量です！

ここはすごく重要で、ベクトルの内積を計算すると出てくるのはスカラー量であり、ベクトル量ではありません。

方向を持っていないということです。

では内積に戻ります。

じゃあこれが一体何なの？

という疑問にお答えします。

内積とは『仕事量』もしくは『貢献度』

内積とは『仕事量』や『貢献度』を表しています。

先ほどの図に戻りましょう。

例えば今、\(\vec{A}\)と\(\vec{B}\)の交点に船が一隻あったとします。（∠\(\theta\)の頂点）

この時、本当は(\vec{A})の方向に進まなければいけないのに、風の影響で(\vec{B})の方向に動いてしまいました。

言い換えると\((a_{1},\ a_{2})\)に行きたいのに、\((b_{1},\ b_{2})\)に来てしまったイメージです。

この時、\((a_{1},\ a_{2})\)の方向にはどれくらい進みましたか？

という問いに答えるのが内積です。

内積の計算方法

では具体的な内積の計算方法を確認していきましょう。

式はどちらを用いても構いません。

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\tag{1}$$

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=|A||B|cos\theta\tag{2}$$

(1)式で解いてみましょう。

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=4×1+2×3=10$$

となります。(2)でも解いてみましょうー！

$$|A|=\sqrt{20}=2\sqrt{5},\ |B|=\sqrt{10}$$

です。絶対値は三平方の定理より求めることが可能です。

$$cos45^{ \circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

なので、(2)式に代入すると・・・

$$\begin{align}
\vec{A}\cdot\vec{B} &= |A||B|cos\theta \\
&= 2\sqrt{5}×\sqrt{10}×\frac{1}{\sqrt{2}} \\
&= 10
\end{align}$$

と言うわけで、内積を求めることはできるようになったでしょう！

ベクトルの内積を求めるコツ

ここで、求めるコツを紹介しますね。

式が２種類ありますので、どちらを使うべきか考えます。\(\theta\)がわかっている場合はほとんど式(2)です。

逆に\(\theta\)がわかっていない場合は(1)式となります。

それでは、ベクトルの内積をどうやって活用するかを考えていきましょう！

ベクトルの内積の活用方法

先ほどの図をもう一度使って考えます。

ただし、\(\theta=?\)になっていますね。２つのベクトルがなす角が分からないけれど、内積は分かる。って状況です。

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=10$$

はさっき求めましたよね。すると以下の式が成り立ちます。

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=|A||B|cos\theta=10$$

$$|A||B|=10\sqrt{2}$$

ですので、\(cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)となります。

$$\text{∴}\theta=45^{ \circ }$$

となるわけです！ベクトルから角度が分かるようになるのです。

内積の公式と計算法則

最後にベクトルの内積の計算法則を紹介します。これを知っているかどうかで応用の幅が大きく変わります！

内積は交換できる

ベクトルの内積は交換が可能です。

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot\vec{B}$$

まあイメージ通りですかね。

内積は倍にできる

ベクトルの内積は定数kをかけることもできますよ！

$$k\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot k\vec{B}$$

もちろん\(k(\vec{A}\cdot\vec{B})\)なんて事もできます。

内積は分配もできる

分配もできます。

$$\vec{A}\cdot (\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$$

って感じですね。

ベクトル内積のまとめ

以上をまとめましょう！

• 内積とは仕事量・貢献度を表すスカラー量である
• 計算方法は2つある
• ２つのベクトルがなす角を求めることが可能