[数2]二次方程式の解と係数の関係

二次方程式$ax^2+bx+c=0$の解をαとβとすると、下記の式が成り立つ。

$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}$

$αβ=\displaystyle \frac{c}{a}$

このαとβの式を二次方程式の解と係数の関係と呼びます。
確かに解であるαとβ、係数であるa, b, cの関係を表していますね。

この二次方程式の解と係数の関係を解説します。

二次方程式の解と係数の関係

二次方程式$ax^2+bx+c=0$の解をαとβとすると、下記の式が成り立つ。

$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}$

$αβ=\displaystyle \frac{c}{a}$

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最初に具体例を確認しましょう。

解と係数の関係の具体例

$2x^2+5x+2=0$

解の公式を使って二次方程式の解を求めると、$-\displaystyle \frac{1}{2},\ -2$である。
つまり、$α=-\displaystyle \frac{1}{2},\ β=-2$である。

>>参考<<
解の公式 ：\(x = \displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

解と係数の関係を計算してみよう。

$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}=-\displaystyle \frac{5}{2}$

$αβ=\displaystyle \frac{c}{a}=1$

上記の通り、二次方程式の解と係数の関係が成り立つことがわかる。
もし、問題が「α+βの値を求めよ」であれば、二次方程式の解を求める必要がないことがわかる。

解と係数の関係の証明

ここから、二次方程式の解と係数の関係を証明していこう。

証明する方法は2つある。

1. 解の公式を使った証明
2. 因数定理を使った証明

二次よりも高次な方程式(三次、四次、n次)では因数定理を使う必要がある。
しかし今回はわかりやすさを重視して解の公式を使った証明を解説する。

解の公式による証明

解の公式より、$ax^2+bx+c=0$の解をα, βとすると下記の式で表すことができる。

\(α = \displaystyle\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(β = \displaystyle\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

上記の解の和と積を計算すると、次のようになる。

$α+β=\displaystyle \frac{-2b}{2a}=-\displaystyle \frac{b}{a}$

\begin{eqnarray}
αβ&=&\displaystyle \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\
&=&\displaystyle \frac{4ac}{4a^2}\\
&=&\displaystyle \frac{c}{a}
\end{eqnarray}

以上より、解と係数の関係を証明できる。

例題

最後に二次方程式の解と係数の関係を使った例題を解いていこう。

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問題

$x^2+4x-12=0$の解を$α,\ β$とするとき、$α^2+β^2,\ α^3+β^3$の値をそれぞれ求めよ。

解答

$α^2+β^2=8$

$α^3+β^3=-128$

解説

$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}=-4$
$αβ=\displaystyle \frac{c}{a}=-12$

である。

ここで、因数分解の公式を使うと

$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=(-4)^2+24=8$

また、因数分解の3乗の公式より、$α^3+β^3=(α+β)(α^2-2αβ+β^2)$なので、

$α^3+β^3=(-4)(8+24)=-128$

となる。