三角関数の公式一覧を作成しました。
それぞれの公式について詳しい解説もあります。
テスト前や復習などにご利用くださいませ！
サインコサインタンジェントの基礎公式
三角関数の基礎
- \(\sin \theta=\displaystyle \frac{y}{r}\)
- \(\cos \theta=\displaystyle \frac{x}{r}\)
- \(\tan \theta=\displaystyle \frac{y}{x}\)
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三角関数の相互関係
- \(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)
- \(\tan θ=\displaystyle \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
- \(\tan^2 θ+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}\)
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三角関数の角度の公式
- \(\sin(90°-\theta)=\cos \theta\)
- \(\sin(90°+\theta)=\cos \theta\)
- \(\sin(\theta+180°)=-\sin \theta\)
- \(\cos(90°-\theta)=\sin \theta\)
- \(\cos(90°+\theta)=-\sin \theta\)
- \(\cos(\theta+180°)=-\cos \theta\)
こちらはグラフを見ると一発で理解できる公式です！
三角形への応用公式
正弦定理
正弦定理
三角形ABCがあるとき、以下の式が成り立つ。
$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\displaystyle \frac{b}{\sin B}=\displaystyle \frac{c}{\sin C}$$
また、三角形ABCに外接する半径Rの円がある時、以下の式も成り立つ。
$$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R$$
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余弦定理
三角形\(ABC\)において、\(AB=c,\ BC=a,\ CA=b\)とするとき下記の式が成り立つ。
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\
b^2=c^2+a^2-2ca \cos B\\
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$$
余弦定理の解説
三角形の面積
三角形の面積の公式
三角形の面積をSとすると、下記の式が成り立つ。
$$S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C\\
S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A\\
S=\displaystyle \frac{1}{2}ca\sin B$$
ヘロンの公式
ヘロンの公式
三角形ABCの辺の長さをa, b, cとすると、面積Sは下記の式で表すことができる。
\begin{eqnarray}
S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
ここで、s &=& \displaystyle \frac{a+b+c}{2}
\end{eqnarray}
加法定理と応用公式
加法定理
\begin{eqnarray}
\sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\\ \\
\cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\\ \\
\tan (A \pm B) &=& \displaystyle \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{eqnarray}
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倍角の公式
\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
2倍角の公式とは\((a),\ (b),\ (c)\)の3つの式から成る公式である。
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半角の公式
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
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積和の公式
三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式
\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}
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和積の公式
三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の和を積に直す公式
\begin{eqnarray}
(1)\ \sin x+\sin y &=& 2\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2} \\
(2)\ \sin x-\sin y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(3)\ \cos x+\cos y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(4)\ \cos x-\cos y &=& -2{\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
\end{eqnarray}
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3倍角の公式
\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& 3\sin \theta-4\sin^3 \theta \\
\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta-3\cos \theta \\
\tan 3\theta&=& \displaystyle \frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
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